2. Решить задачу Катер за 4 ч движения по течению реки и 3ч по озеру прошел 148 км. За 5ч движения против течения реки он прошел на 50 км больше, чем за 2ч движения по озеру. Найдите скорость катера в стоячей воде и скорость течения реки.

Задание 2. Скорость катера и течения реки

Дано:

• Время движения по течению реки: \( t_1 = 4 \) ч.
• Время движения по озеру: \( t_2 = 3 \) ч.
• Расстояние, пройденное по озеру за 3 часа: \( S_{озеро1} \) км.
• Время движения против течения реки: \( t_3 = 5 \) ч.
• Расстояние, пройденное против течения реки: \( S_{против} = S_{озеро1} + 50 \) км.
• Время движения по озеру: \( t_4 = 2 \) ч.
• Расстояние, пройденное по озеру за 2 часа: \( S_{озеро2} \) км.
• Важное уточнение: в условии сказано "За 5ч движения против течения реки он прошел на 50 км больше, чем за 2ч движения по озеру." Из этого следует, что \( S_{против} = S_{озеро2} + 50 \) км.
• Также учтем: \( S_{озеро1} = S_{озеро2} \) если бы время было одинаковое, но здесь время разное, поэтому \( S_{озеро1} = v_{озеро} \cdot 3 \) и \( S_{озеро2} = v_{озеро} \cdot 2 \).

Найти:

• Скорость катера в стоячей воде: \( v_{катер} \) км/ч.
• Скорость течения реки: \( v_{река} \) км/ч.

Решение:

Обозначим:

• Скорость катера в стоячей воде как \( v_{к} \)
• Скорость течения реки как \( v_{р} \)

Тогда:

• Скорость катера по течению реки: \( v_{по теч} = v_{к} + v_{р} \)
• Скорость катера против течения реки: \( v_{против} = v_{к} - v_{р} \)
• Скорость катера по озеру (где нет течения): \( v_{озеро} = v_{к} \)

Составим уравнения на основе условий задачи:

1. Движение по течению реки: \( v_{по теч} \cdot t_1 = S_{по теч} \)
\( (v_{к} + v_{р}) \cdot 4 = S_{по теч} \)
2. Движение по озеру (первый случай): \( v_{озеро} \cdot t_2 = S_{озеро1} \)
\( v_{к} \cdot 3 = S_{озеро1} \)
3. Движение против течения реки: \( v_{против} \cdot t_3 = S_{против} \)
\( (v_{к} - v_{р}) \cdot 5 = S_{против} \)
4. Движение по озеру (второй случай): \( v_{озеро} \cdot t_4 = S_{озеро2} \)
\( v_{к} \cdot 2 = S_{озеро2} \)

Теперь подставим информацию о расстояниях:

1. Из условия: Катер за 4 ч движения по течению реки и 3 ч по озеру прошел 148 км.
\( S_{по теч} + S_{озеро1} = 148 \) \( 4(v_{к} + v_{р}) + 3v_{к} = 148 \) \( 4v_{к} + 4v_{р} + 3v_{к} = 148 \) \( 7v_{к} + 4v_{р} = 148 \) (Уравнение 1)
2. Из условия: За 5 ч движения против течения реки он прошел на 50 км больше, чем за 2 ч движения по озеру.
\( S_{против} = S_{озеро2} + 50 \) \( 5(v_{к} - v_{р}) = 2v_{к} + 50 \) \( 5v_{к} - 5v_{р} = 2v_{к} + 50 \) \( 3v_{к} - 5v_{р} = 50 \) (Уравнение 2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

\( \begin{cases} 7v_{к} + 4v_{р} = 148 \ 3v_{к} - 5v_{р} = 50 \text{(Умножим первое уравнение на 5, а второе на 4, чтобы избавиться от } v_{р}\text{)} 35v_{к} + 20v_{р} = 740 \ 12v_{к} - 20v_{р} = 200 \ \text{(Сложим два уравнения)} (35v_{к} + 12v_{к}) + (20v_{р} - 20v_{р}) = 740 + 200 \ 47v_{к} = 940 \ v_{к} = \frac{940}{47} \ v_{к} = 20 \ \text{(Подставим } v_{к} = 20 \text{ во второе уравнение)} 3(20) - 5v_{р} = 50 \ 60 - 5v_{р} = 50 \ -5v_{р} = 50 - 60 \ -5v_{р} = -10 \ v_{р} = \frac{-10}{-5} \ v_{р} = 2

Проверка:

Первая часть условия:

• Движение по течению: \( 4 \) ч. Скорость: \( 20 + 2 = 22 \) км/ч. Расстояние: \( 22 \cdot 4 = 88 \) км.
• Движение по озеру: \( 3 \) ч. Скорость: \( 20 \) км/ч. Расстояние: \( 20 \cdot 3 = 60 \) км.
• Общее расстояние: \( 88 + 60 = 148 \) км. (Верно)

Вторая часть условия:

• Движение против течения: \( 5 \) ч. Скорость: \( 20 - 2 = 18 \) км/ч. Расстояние: \( 18 \cdot 5 = 90 \) км.
• Движение по озеру: \( 2 \) ч. Скорость: \( 20 \) км/ч. Расстояние: \( 20 \cdot 2 = 40 \) км.
• Разница в расстоянии: \( 90 - 40 = 50 \) км. (Верно)

Ответ: Скорость катера в стоячей воде 20 км/ч, скорость течения реки 2 км/ч.