№ 2. Решить задачу: В прямоугольном треугольнике один из катетов на 6 см меньше гипотенузы, а второй катет на 5 см меньше гипотенузы. Найти катеты.

Обозначим гипотенузу через \(x\) см. Тогда катеты равны \(x-6\) см и \(x-5\) см.

По теореме Пифагора:

\[(x-6)^2+(x-5)^2=x^2.\]

Раскроем скобки:

\[x^2-12x+36+x^2-10x+25=x^2,\]

\[x^2-22x+61=0.\]

Найдём корни:

\[D=(-22)^2-4\cdot61=240,\]

\[x=\frac{22\pm\sqrt{240}}{2}=11\pm2\sqrt{15}.\]

Корень \(11-2\sqrt{15}<6\) не подходит, так как длина первого катета должна быть положительной.

Следовательно, гипотенуза \(x=11+2\sqrt{15}\) см.

Катеты:

\[x-6=5+2\sqrt{15}\text{ см},\]

\[x-5=6+2\sqrt{15}\text{ см}.\]

Ответ: катеты равны \(5+2\sqrt{15}\) см и \(6+2\sqrt{15}\) см.