2. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение:

Для решения системы методом Крамера, сначала вычислим главный определитель системы \( D \).

Система имеет вид:

\[ \begin{cases} 2x_1 - x_2 = 0 \\ x_1 + 3x_2 = 7 \end{cases} \]

Главный определитель \( D \) образуется из коэффициентов при \( x_1 \) и \( x_2 \):

\[ D = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = (2 \cdot 3) - (-1 \cdot 1) = 6 + 1 = 7 \]

Для нахождения \( D_{x_1} \), заменим первый столбец матрицы \( D \) (коэффициенты при \( x_1 \)) на свободные члены (0 и 7):

\[ D_{x_1} = \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 7 & 3 \end{vmatrix} = (0 \cdot 3) - (-1 \cdot 7) = 0 + 7 = 7 \]

Для нахождения \( D_{x_2} \), заменим второй столбец матрицы \( D \) (коэффициенты при \( x_2 \)) на свободные члены (0 и 7):

\[ D_{x_2} = \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 7 \end{vmatrix} = (2 \cdot 7) - (0 \cdot 1) = 14 - 0 = 14 \]

Теперь найдём значения \( x_1 \) и \( x_2 \) по формулам Крамера:

\[ x_1 = \frac{D_{x_1}}{D} = \frac{7}{7} = 1 \]\[ x_2 = \frac{D_{x_2}}{D} = \frac{14}{7} = 2 \]

Проверим решение, подставив найденные значения в исходную систему:

1) \( 2(1) - 2 = 2 - 2 = 0 \) (Верно)

2) \( 1 + 3(2) = 1 + 6 = 7 \) (Верно)

Ответ: x₁ = 1, x₂ = 2.