2. Решить графически:

Решение:

а) \( \log_{2} x > -x \)

Построим графики функций \( y = \log_{2} x \) и \( y = -x \).

• График \( y = \log_{2} x \) проходит через точки (1, 0), (2, 1), (4, 2).
• График \( y = -x \) — это прямая, проходящая через начало координат с угловым коэффициентом -1.
• Найдем точку пересечения графиков. Экспериментально можно подобрать \( x = 1 \), так как \( \log_{2} 1 = 0 \) и \( -1 = -1 \).
• Учитывая, что \( \log_{2} x \) возрастает, а \( -x \) убывает, при \( x > 1 \) \( \log_{2} x > -x \).

Ответ: \( x \in (1; +\infty) \)

б) \( x^2 - 1 = x \)

Приведем уравнение к стандартному виду: \( x^2 - x - 1 = 0 \).

1. Найдем дискриминант: \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5 \).
2. Найдем корни: \[ x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \].

Ответ: \( x_{1} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, x_{2} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \)

в) \( 2^x \le 4 \)

1. Представим 4 как степень 2: \( 4 = 2^2 \).
2. Получаем неравенство: \( 2^x \le 2^2 \).
3. Так как основание степени \( 2 > 1 \), то показатели степени можно сравнить: \( x \le 2 \).

Ответ: \( x \in (-\infty; 2] \)

г) \( 2^x \ge -x + 2 \)

Построим графики функций \( y = 2^x \) и \( y = -x + 2 \).

• График \( y = 2^x \) — показательная функция, проходящая через точки (0, 1), (1, 2), (2, 4).
• График \( y = -x + 2 \) — прямая, проходящая через точки (0, 2), (2, 0).
• Точки пересечения графиков: \( x = 1 \) (так как \( 2^1 = 2 \) и \( -1 + 2 = 1 \) — не подходит), \( x = 0 \) (так как \( 2^0 = 1 \) и \( -0 + 2 = 2 \) — не подходит).
• Перебором находим, что \( x=1 \) является решением: \( 2^1 = 2 \) и \( -1+2=1 \) — не подходит.
• Попробуем \( x=0 \): \( 2^0=1 \), \( -0+2=2 \). \( 1<2 \).
• Попробуем \( x=2 \): \( 2^2=4 \), \( -2+2=0 \). \( 4>0 \).
• Попробуем \( x=1 \): \( 2^1=2 \), \( -1+2=1 \). \( 2>1 \).
• Графически видно, что \( 2^x ≥ -x + 2 \) при \( x ≥ 1 \).

Ответ: \( x \in [1; +\infty) \)

д) \( (\frac{1}{2})^x = -x^2 + 4 \)

Построим графики функций \( y = (\frac{1}{2})^x \) и \( y = -x^2 + 4 \).

• График \( y = (\frac{1}{2})^x \) — убывающая показательная функция, проходящая через точки (0, 1), (1, 0.5), (2, 0.25).
• График \( y = -x^2 + 4 \) — парабола с вершиной в (0, 4), ветви направлены вниз. Пересекает ось x в точках \( x = \pm 2 \).
• Пересечения графиков: \( x = \sqrt{3} \) (примерно 1.73) и \( x = -2 \).
• Проверим \( x = -2 \): \( (\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4 \). \( -(-2)^2 + 4 = -4 + 4 = 0 \). Не подходит.
• Проверим \( x = 2 \): \( (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} \). \( -(2)^2 + 4 = -4 + 4 = 0 \). Не подходит.
• По графику видно, что решения примерно \( x \approx -1.8 \) и \( x \approx 1.4 \).

Ответ: \( x \approx -1.8; x \approx 1.4 \)