№2. Пусть А – множество решений неравенства х² -х - 6 ≥ 0, В - множество решений неравенства 5х + 6 ≤ 8х + 3. Найти множества AB, AUB, A\(\B\), B\(\A\).

Задание №2. Нахождение множеств

Привет! Давай разберем эту задачку по шагам.

Находим множество А

Сначала решим неравенство: \( x^2 - x - 6 \geq 0 \).

Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - x - 6 = 0 \). Используем формулу дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \).

Здесь \( a=1, b=-1, c=-6 \).

\( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{25} = 5 \).

Найдем корни:

\( x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \).

\( x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 \).

Наше неравенство \( x^2 - x - 6 \geq 0 \) выполняется, когда парабола \( y = x^2 - x - 6 \) находится выше или на оси x. Это происходит при \( x \leq -2 \) или \( x \geq 3 \).

Таким образом, множество А записывается как:

\( A = (-\infty, -2] \cup [3, +\infty) \).

Находим множество В

Теперь решим второе неравенство: \( 5x + 6 \leq 8x + 3 \).

Перенесем члены с x в одну сторону, а числа — в другую:

\( 6 - 3 \leq 8x - 5x \)

\( 3 \leq 3x \)

Разделим обе части на 3:

\( 1 \leq x \)

Или, что то же самое, \( x \geq 1 \).

Значит, множество В записывается как:

\( B = [1, +\infty) \).

Находим пересечение множеств \(A \cap B\)

Нам нужно найти числа, которые одновременно принадлежат и множеству А, и множеству В.

\( A = (-\infty, -2] \cup [3, +\infty) \)

\( B = [1, +\infty) \)

Пересечение этих множеств будет:

\( A \cap B = ( (-\infty, -2] \cup [3, +\infty) ) \cap [1, +\infty) \)

Числа, которые больше или равны 1 и при этом меньше или равны -2, не существуют. Числа, которые больше или равны 1 и при этом больше или равны 3, это числа, которые больше или равны 3.

\( A \cap B = [3, +\infty) \).

Находим объединение множеств (A U B)

Нам нужно найти все числа, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.

\( A = (-\infty, -2] \cup [3, +\infty) \)

\( B = [1, +\infty) \)

Объединение этих множеств будет:

\( A \cup B = (-\infty, -2] \cup [1, +\infty) \).

Находим разность множеств (A \ B)

Нам нужно найти элементы, которые есть в множестве А, но которых нет в множестве В.

\( A = (-\infty, -2] \cup [3, +\infty) \)

\( B = [1, +\infty) \)

Вычитаем из множества А все элементы множества В. Если мы возьмем \( (-\infty, -2] \cup [3, +\infty) \) и уберем из него все, что больше или равно 1, то останутся только числа, которые меньше или равны -2.

\( A \setminus B = (-\infty, -2] \).

Находим разность множеств (B \ A)

Нам нужно найти элементы, которые есть в множестве В, но которых нет в множестве А.

\( A = (-\infty, -2] \cup [3, +\infty) \)

\( B = [1, +\infty) \)

Вычитаем из множества В все элементы множества А. Если мы возьмем \( [1, +\infty) \) и уберем из него все, что меньше или равно -2 (чего там и так нет), и уберем все, что больше или равно 3, то останутся числа от 1 до 3 (не включая 3).

\( B \setminus A = [1, 3) \).

Итоговые ответы:

\( A \cap B = [3, +\infty) \)

\( A \cup B = (-\infty, -2] \cup [1, +\infty) \)

\( A \setminus B = (-\infty, -2] \)

\( B \setminus A = [1, 3) \)