2. Продавец продает товар за 65 рублей каждый 40 покупателям в день. Исследование рынка показало, что каждый раз, когда цена увеличивается на 1 рубль, он теряет 2 покупателей в день. В намерении получить максимальную прибыль, продавец меняет цену на х рублей. а) Найдите функцию у = R(x) - ежегодного дохода продавца, постройте график. б) Найдите максимальный доход, и соответствующую цену

Решение:

Пусть x - увеличение цены в рублях. Изначальная цена товара - 65 рублей. Изначальное количество покупателей - 40.

а) Функция дохода R(x):

Новая цена товара: \( 65 + x \) рублей.

Количество покупателей: \( 40 - 2x \) человек.

Доход продавца \( R(x) \) вычисляется как произведение новой цены на количество покупателей:

\[ R(x) = (65 + x)(40 - 2x) \]

Раскроем скобки:

\[ R(x) = 65 \cdot 40 - 65 \cdot 2x + x \cdot 40 - x \cdot 2x \]

\[ R(x) = 2600 - 130x + 40x - 2x^2 \]

\[ R(x) = -2x^2 - 90x + 2600 \]

Это квадратичная функция, график которой — парабола, ветви которой направлены вниз. Максимальное значение функции достигается в вершине параболы.

Чтобы построить график, найдем вершину параболы. Координата \( x \) вершины вычисляется по формуле \( x_v = \frac{-b}{2a} \), где \( a = -2 \) и \( b = -90 \).

\[ x_v = \frac{-(-90)}{2 \cdot (-2)} = \frac{90}{-4} = -22.5 \]

Теперь найдем \( y_v \), подставив \( x_v \) в функцию \( R(x) \):

\[ R(-22.5) = -2(-22.5)^2 - 90(-22.5) + 2600 \]

\[ R(-22.5) = -2(506.25) + 2025 + 2600 \]

\[ R(-22.5) = -1012.5 + 2025 + 2600 = 3612.5 \]

Координаты вершины параболы: \( (-22.5; 3612.5) \).

Найдем точки пересечения графика с осью \( Ox \) (нули функции), приравняв \( R(x) \) к нулю:

\[ -2x^2 - 90x + 2600 = 0 \]

Разделим на -2:

\[ x^2 + 45x - 1300 = 0 \]

Найдем дискриминант \( D \):

\[ D = 45^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1300) = 2025 + 5200 = 7225 \]

\( \sqrt{D} = \sqrt{7225} = 85 \)

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-45 + 85}{2} = \frac{40}{2} = 20 \]

\[ x_2 = \frac{-45 - 85}{2} = \frac{-130}{2} = -65 \]

Таким образом, график дохода — это парабола с вершиной в точке \( (-22.5; 3612.5) \) и нулями в \( x = 20 \) и \( x = -65 \).

б) Максимальный доход и соответствующая цена:

Максимальный доход достигается при \( x = x_v = -22.5 \).

Максимальный доход равен \( R(-22.5) = 3612.5 \) рублей.

Соответствующая цена товара:

\[ Цена = 65 + x = 65 + (-22.5) = 42.5 \] рублей.

Ответ: а) Функция дохода: \( R(x) = -2x^2 - 90x + 2600 \). График - парабола. б) Максимальный доход составляет 3612.5 рублей при цене 42.5 рублей.