2. Параллелограмм. Признаки параллелограмма (доказательство одного из них).

2. Параллелограмм

Определение: Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Признаки параллелограмма:

1. Если у четырехугольника противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.


2. Если у четырехугольника противоположные углы попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.


3. Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство первого признака:

Пусть дан четырехугольник ABCD, у которого \( AB = DC \) и \( AD = BC \). Нам нужно доказать, что ABCD — параллелограмм.

Проведем диагональ AC.

Рассмотрим \( \triangle ABC \) и \( \triangle CDA \):

1. \( AB = CD \) (по условию).


2. \( BC = DA \) (по условию).


3. \( AC = CA \) (общая сторона).

По трем сторонам (признак равенства треугольников), \( \triangle ABC = \triangle CDA \). Следовательно, их соответственные углы равны: \( \angle BAC = \angle DCA \) и \( \angle BCA = \angle DAC \).

Углы \( \angle BAC \) и \( \angle DCA \) являются накрест лежащими при прямых AB и DC и секущей AC. Так как они равны, то \( AB \parallel DC \).

Углы \( \angle BCA \) и \( \angle DAC \) являются накрест лежащими при прямых BC и AD и секущей AC. Так как они равны, то \( BC \parallel AD \).

По определению, четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Следовательно, ABCD — параллелограмм.