2. Основата на равнобедрения ДАВС е АВ = 16 cm. Ако sin <BAC = 15/17, намерете: а) дължината на бедрото на триъгълника; б) дължината на Височината към основата; В) лицето на триъгълника; г) радиуса на вписаната в триъгълника окръжност.

Решение:

Дадено е равнобедрен триъгълник ABC, където AB е основата. Дължината на основата е \( AB = 16 \text{ cm} \). Синусът на ъгъл BAC е \( \sin(\angle BAC) = \frac{15}{17} \).

Нека \( AC = BC = b \) са бедрата на триъгълника.

Нека CD е височината към основата AB. Тъй като триъгълникът е равнобедрен, CD е и медиана, което означава, че \( AD = DB = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8 \text{ cm} \).

а) Дължината на бедрото на триъгълника

В правоъгълния триъгълник ADC, имаме:

\( \sin(\angle BAC) = \frac{CD}{AC} \)

\( \cos(\angle BAC) = \frac{AD}{AC} \)

За да намерим \( AC \), първо трябва да намерим \( \cos(\angle BAC) \) от \( \sin(\angle BAC) \) използвайки основното тригонометрично тъждество: \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \).

\[ \cos^2(\angle BAC) = 1 - \sin^2(\angle BAC) = 1 - \left(\frac{15}{17}\right)^2 = 1 - \frac{225}{289} = \frac{289 - 225}{289} = \frac{64}{289} \]

Тъй като \( \angle BAC \) е ъгъл в триъгълник, \( \cos(\angle BAC) \) е положителен (приемаме, че \( \angle BAC \) е остър, което е типично за равнобедрен триъгълник с даден синус). Така:

\[ \cos(\angle BAC) = \sqrt{\frac{64}{289}} = \frac{8}{17} \]

Сега можем да намерим дължината на бедрото \( AC \):

\[ \cos(\angle BAC) = \frac{AD}{AC} \implies AC = \frac{AD}{\cos(\angle BAC)} = \frac{8}{\frac{8}{17}} = 8 \cdot \frac{17}{8} = 17 \text{ cm} \]

Следователно, дължината на бедрото е \( b = 17 \text{ cm} \).

б) Дължината на височината към основата

Използваме правоъгълния триъгълник ADC:

\[ CD = AC \cdot \sin(\angle BAC) = 17 \cdot \frac{15}{17} = 15 \text{ cm} \]

Алтернативно, може да се използва Питагорова теорема в \( \triangle ADC \):

\[ CD^2 = AC^2 - AD^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225 \]

\[ CD = \sqrt{225} = 15 \text{ cm} \]

Височината към основата е \( h_c = 15 \text{ cm} \).

В) Лицето на триъгълника

Лицето на триъгълник се изчислява по формулата \( S = \frac{1}{2} \cdot \text{основа} \cdot \text{височина} \).

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15 = 8 \cdot 15 = 120 \text{ cm}^2 \]

г) Радиуса на вписаната в триъгълника окръжност

Радиусът на вписаната окръжност \( r \) може да се намери по формулата \( r = \frac{S}{p} \), където \( S \) е лицето на триъгълника, а \( p \) е полупериметърът.

Периметърът \( P = AB + AC + BC = 16 + 17 + 17 = 50 \text{ cm} \).

Полупериметърът \( p = \frac{P}{2} = \frac{50}{2} = 25 \text{ cm} \).

Сега намираме радиуса:

\[ r = \frac{S}{p} = \frac{120}{25} \]

За да опростим дробта, можем да разделим числителя и знаменателя на 5:

\[ r = \frac{120 \div 5}{25 \div 5} = \frac{24}{5} = 4.8 \text{ cm} \]

Ответ: а) Дължината на бедрото е 17 cm. б) Дължината на височината към основата е 15 cm. В) Лицето на триъгълника е 120 cm². г) Радиусът на вписаната окръжност е 4.8 cm.