Ответ:

Причастный оборот, стоящий после определяемого слова, обычно обособляется. Если оборот стоит перед определяемым словом, запятые ставятся только при наличии добавочного обстоятельственного или пояснительного значения.

  1. Вскоре явился к Владимиру Андреевичу старый кучер Антон, некогда водивший его по конюшне и смотревший за его маленькою лошадкою.
    Определяемое слово — кучер Антон. Оборот некогда водивший его по конюшне и смотревший за его маленькою лошадкою стоит после него и обособляется. Однородные причастия соединены одиночным союзом и, поэтому запятая между ними не ставится.
  2. Оставаться ей в крепости, подвластной Пугачеву и управляемой Швабриным, было невозможно.
    Определяемое слово — крепости. Оборот стоит после него и обособляется. Причастия подвластной и управляемой — однородные, соединены союзом и.
  3. Предмет, избранный ею, был бедный армейский прапорщик, находившийся в отпуску в своей деревне.
    Определяемое слово для первого оборота — предмет, для второго — прапорщик. Оба оборота стоят после определяемых слов и обособляются.
  4. Я опустил циновку, закутался в шубу и задремал, убаюканный пением бури и качкою тихой езды.
    Оборот убаюканный пением бури и качкою тихой езды относится к подлежащему я и имеет добавочное обстоятельственное значение, поэтому обособляется. Между однородными сказуемыми опустил, закутался и задремал запятая перед одиночным союзом и не ставится.
  5. Зима, затруднявшая военные распоряжения, проходила, и наши генералы готовились к дружному содействию.
    Определяемое слово — зима. Оборот стоит после него и обособляется. Запятая перед и разделяет части сложного предложения: зима проходила и генералы готовились.
  6. Гости стали прощаться между собою, и каждый отправился в комнату, ему назначенную.
    Запятая перед и разделяет части сложного предложения. Оборот ему назначенную стоит после определяемого слова комнату и обособляется.
  7. Река еще не замерзла, и ее свинцовые воды грустно чернели в однообразных берегах, покрытых белым снегом.
    Запятая перед и разделяет части сложного предложения. Оборот покрытых белым снегом относится к слову берегах, стоит после него и обособляется.

Ответ: 1) Антон, некогда водивший...; 2) крепости, подвластной...; 3) предмет, избранный..., прапорщик, находившийся...; 4) задремал, убаюканный...; 5) зима, затруднявшая..., проходила, и; 6) и..., комнату, ему назначенную; 7) и..., берегах, покрытых....