2. Не выполняя построений, выясните, сколько решении имеет система уравнений. a) {5x + y = 2, 3x - 3y = 1; b) {2y - 3x = 2, 9x - 6y = 5; в) {3x - 4y = 1, 8y - 6x = -2.

Решение:

Для определения количества решений системы линейных уравнений, сравним коэффициенты при x и y, и свободные члены.

Система а)

\( \begin{cases} 5x + y = 2 \\ 3x - 3y = 1 \end{cases} \)

Умножим первое уравнение на 3: \( 15x + 3y = 6 \).

Сложим полученное уравнение со вторым: \( (15x + 3y) + (3x - 3y) = 6 + 1 \) \( \Rightarrow 18x = 7 \) \( \Rightarrow x = \frac{7}{18} \).

Так как мы нашли единственное значение x, система имеет одно решение.

Система б)

\( \begin{cases} 2y - 3x = 2 \\ 9x - 6y = 5 \end{cases} \)

Умножим первое уравнение на -3: \( -6y + 9x = -6 \).

Перепишем оба уравнения в виде: \( \begin{cases} 9x - 6y = -6 \\ 9x - 6y = 5 \end{cases} \)

Так как левые части уравнений равны, а правые различны (\(-6 \neq 5\)), система не имеет решений.

Система в)

\( \begin{cases} 3x - 4y = 1 \\ 8y - 6x = -2 \end{cases} \)

Перепишем второе уравнение: \( -6x + 8y = -2 \).

Разделим второе уравнение на -2: \( 3x - 4y = 1 \).

Оба уравнения в системе идентичны. Это означает, что система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: а) одно решение, б) нет решений, в) бесконечно много решений.