2. Найти промежутки возрастания и убывания функции: y=x³-3x²

Решение:

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нужно исследовать знак её производной.

1. Найдём производную функции \( y=x^3-3x^2 \): \[ y' = (x^3-3x^2)' = 3x^2 - 6x \]
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \[ 3x^2 - 6x = 0 \]
3. Вынесем общий множитель \( 3x \): \[ 3x(x - 2) = 0 \]
4. Отсюда получаем две критические точки: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 2 \).
5. Эти точки делят числовую прямую на три промежутка: \( (-\infty, 0) \), \( (0, 2) \) и \( (2, +\infty) \). Исследуем знак производной на каждом из них:
   • На промежутке \( (-\infty, 0) \) (например, при \( x = -1 \)): \( y'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0 \). Значит, функция возрастает.
   • На промежутке \( (0, 2) \) (например, при \( x = 1 \)): \( y'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0 \). Значит, функция убывает.
   • На промежутке \( (2, +\infty) \) (например, при \( x = 3 \)): \( y'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0 \). Значит, функция возрастает.

Ответ: Функция возрастает на промежутках \( (-\infty, 0] \) и \( [2, +\infty) \). Функция убывает на промежутке \( [0, 2] \).