2. Найти промежутки монотонности функции: f(x) = x³ - 7x² + 16x

Решение:

1. Найдем производную функции \( f(x) \):
   \( f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 7x^2 + 16x) \)
   \( f'(x) = 3x^2 - 14x + 16 \)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \( 3x^2 - 14x + 16 = 0 \)
3. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
   \( D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 196 - 192 = 4 \)
4. Найдем корни:
   \( x_1 = \frac{-(-14) + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{14 + 2}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \)
   \( x_2 = \frac{-(-14) - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{14 - 2}{6} = \frac{12}{6} = 2 \)
5. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками: \( (-\infty, 2) \), \( (2, \frac{8}{3}) \), \( (\frac{8}{3}, \infty) \).
6. Возьмем тестовые точки:
   - Для \( (-\infty, 2) \), например, \( x=0 \): \( f'(0) = 3(0)^2 - 14(0) + 16 = 16 > 0 \) (функция возрастает).
   - Для \( (2, \frac{8}{3}) \), например, \( x=2.5 \) (или \( \frac{5}{2} \)): \( f'(2.5) = 3(2.5)^2 - 14(2.5) + 16 = 3(6.25) - 35 + 16 = 18.75 - 35 + 16 = -0.25 < 0 \) (функция убывает).
   - Для \( (\frac{8}{3}, \infty) \), например, \( x=3 \): \( f'(3) = 3(3)^2 - 14(3) + 16 = 3(9) - 42 + 16 = 27 - 42 + 16 = 1 > 0 \) (функция возрастает).

Ответ: Функция возрастает на интервалах \( (-\infty, 2] \) и \( [\frac{8}{3}, \infty) \). Функция убывает на интервале \( [2, \frac{8}{3}] \).