2. Найти экстремумы функции: а) f(x) = x³ − 3x² + 2x + 4; б) f(x) = 3e^(2x) − 2e^(3x).

1. а) Находим производную: \(f'(x)=3x^2-6x+2\). Критические точки удовлетворяют \(3x^2-6x+2=0\), откуда \(x=1\pm\frac{\sqrt3}{3}\).

   Так как производная — квадратичная функция с положительным старшим коэффициентом, её знак положителен вне корней и отрицателен между ними. Следовательно, при \(x=1-\frac{\sqrt3}{3}\) функция имеет локальный максимум, а при \(x=1+\frac{\sqrt3}{3}\) — локальный минимум.

   Подстановка в исходную функцию даёт значения соответственно \(4+\frac{2\sqrt3}{9}\) и \(4-\frac{2\sqrt3}{9}\).

2. б) Находим производную: \(f'(x)=6e^{2x}-6e^{3x}=6e^{2x}(1-e^x)\). Поскольку \(e^{2x}>0\), единственная критическая точка определяется уравнением \(e^x=1\), то есть \(x=0\).

   При \(x<0\) производная положительна, а при \(x>0\) отрицательна. Значит, в точке \(x=0\) максимум; \(f(0)=3-2=1\). Минимума на всей числовой прямой нет.

Ответ: а) максимум \(4+\frac{2\sqrt3}{9}\) при \(x=1-\frac{\sqrt3}{3}\); минимум \(4-\frac{2\sqrt3}{9}\) при \(x=1+\frac{\sqrt3}{3}\). б) максимум 1 при \(x=0\); минимума нет.