2) Найдите значения а и b, при которых но равенство: a) \(\frac{3x}{x-2} - \frac{6x-1}{2x+1} = \frac{ax+b}{2x^2-3x-2}\) b) \(\frac{1}{x^2-1} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x+1}\)

Решение:

а) Приведем левую часть к общему знаменателю \( (x-2)(2x+1) = 2x^2 - 3x - 2 \):

\[ \frac{3x(2x+1) - (6x-1)(x-2)}{(x-2)(2x+1)} = \frac{6x^2+3x - (6x^2 - 12x - x + 2)}{2x^2-3x-2} = \frac{6x^2+3x - (6x^2 - 13x + 2)}{2x^2-3x-2} = \frac{6x^2+3x - 6x^2 + 13x - 2}{2x^2-3x-2} = \frac{16x-2}{2x^2-3x-2} \]

Сравнивая с правой частью \( \frac{ax+b}{2x^2-3x-2} \), получаем: \( a = 16 \), \( b = -2 \).

б) Приведем правую часть к общему знаменателю \( (x-1)(x+1) = x^2 - 1 \):

\[ \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x+1} = \frac{a(x+1) + b(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{ax+a+bx-b}{x^2-1} = \frac{(a+b)x + (a-b)}{x^2-1} \]

Сравнивая с левой частью \( \frac{1}{x^2-1} \), получаем систему уравнений:

\[ \begin{cases} a+b = 0 \\ a-b = 1 \end{cases} \]

Сложим уравнения: \( 2a = 1 \) \( \Rightarrow \) \( a = 0.5 \).

Подставим \( a = 0.5 \) в первое уравнение: \( 0.5 + b = 0 \) \( \Rightarrow \) \( b = -0.5 \).

Ответ: а) a = 16, b = -2; б) a = 0.5, b = -0.5.