2. Найдите точку минимума функции y = x³ - 6,5x² - 56x + 8.

Решение:

Для нахождения точки минимума функции \( y = x^3 - 6.5x^2 - 56x + 8 \) необходимо найти производную функции, приравнять ее к нулю и определить, где производная меняет знак с минуса на плюс.

1. Найдем производную функции: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 6.5x^2 - 56x + 8) = 3x^2 - 13x - 56 \]
2. Приравняем производную к нулю: \[ 3x^2 - 13x - 56 = 0 \]
3. Решим квадратное уравнение, используя дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4(3)(-56) = 169 + 672 = 841 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{841} = 29 \]
4. Найдем корни: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 29}{2 \cdot 3} = \frac{42}{6} = 7 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - 29}{2 \cdot 3} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3} \]
5. Определим знак производной на интервалах: \( (-\infty, -8/3) \), \( (-8/3, 7) \), \( (7, \infty) \).
• На интервале \( (-\infty, -8/3) \), выберем \( x = -3 \): \( y'(-3) = 3(-3)^2 - 13(-3) - 56 = 3(9) + 39 - 56 = 27 + 39 - 56 = 66 - 56 = 10 > 0 \) (функция возрастает).
• На интервале \( (-8/3, 7) \), выберем \( x = 0 \): \( y'(0) = 3(0)^2 - 13(0) - 56 = -56 < 0 \) (функция убывает).
• На интервале \( (7, \infty) \), выберем \( x = 8 \): \( y'(8) = 3(8)^2 - 13(8) - 56 = 3(64) - 104 - 56 = 192 - 104 - 56 = 192 - 160 = 32 > 0 \) (функция возрастает).
6. Точка минимума находится там, где производная меняет знак с минуса на плюс, то есть при \( x = 7 \).

Ответ: x = 7.