2. На рис. 157 BD = 5 см. Найдите расстояние от точки С до прямой АВ и В.

Решение:

На рисунке изображены два треугольника: △ABC и △ADC. По условию △ABD — равнобедренный, так как ⅠAB = ⅠADⅡ (обозначено одинарными штрихами) и ⅠBD=ⅠCDⅡ (обозначено двойными штрихами). Отрезок BD = 5 см. △ABC — прямоугольный, так как ∠C = 90°.

1. Расстояние от точки С до прямой АВ:

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. △ABC — прямоугольный треугольник с ∠C = 90°. CD — высота, проведенная к гипотенузе AB.

В △ADC: ∠ADC = 90°, ∠A = 30° (так как △ABC — прямоугольный, а ∠B = 60°, сумма углов в △ABC равна 180°, ∠A = 180° - 90° - 60° = 30°). Обозначим ∠A как ••A•• = 30°.

В прямоугольном △ADC, катет CD лежит против угла в 30°, поэтому он равен половине гипотенузы AC. CD = ½ AC.

Для нахождения AC, рассмотрим △ABC. ∠B = 60°, ∠C = 90°, ∠A = 30°. ∠BD=∠CDⅡ. ∠BD=∠ADⅡ. D — середина AB.

В △ABC, CD — медиана, проведенная к гипотенузе. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Значит, CD = AD = BD.

По условию BD = 5 см. Следовательно, CD = 5 см.

2. Расстояние от точки С до точки В:

Расстояние от точки С до точки В — это длина отрезка CB.

Рассмотрим △CDB. Он равнобедренный, так как CD = BD = 5 см. ∠CDB — внешний угол для △ADC. ∠CDB = 180° - ∠ADC = 180° - 90° = 90°. Следовательно, △CDB — прямоугольный и равнобедренный.

По теореме Пифагора для △CDB: CB² = CD² + BD² = 5² + 5² = 25 + 25 = 50.

CB = √50 = 5√2 см.

Ответ: Расстояние от точки С до прямой АВ равно 5 см. Расстояние от точки С до точки В равно 5√2 см.