2. На окружности с центром O последовательно отмечены точки A, B, C, D, K так, что точки A и K являются концами диаметра, углы AOC и COK равны. Угол AOB = 30 градусов, угол DOK = 60 градусов. Докажите, что BD = AC.

Обозначим величины дуг \(BC\) и \(CD\) через \(x\) и \(y\) соответственно.

Так как \(AK\) — диаметр, дуга \(ABCDK\) является полуокружностью. Поэтому:

\[30^\circ+x+y+60^\circ=180^\circ,\]

\[x+y=90^\circ.\]

По условию \(\angle AOC=\angle COK\). Это центральные углы, поэтому равны соответствующие дуги:

\[30^\circ+x=y+60^\circ,\]

\[x-y=30^\circ.\]

Решим систему:

\[\begin{cases}x+y=90^\circ,\\x-y=30^\circ.\end{cases}\]

Получаем:

\[x=60^\circ,\qquad y=30^\circ.\]

Тогда дуга \(AC\) равна:

\[\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}=30^\circ+60^\circ=90^\circ.\]

Дуга \(BD\) равна:

\[\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CD}=60^\circ+30^\circ=90^\circ.\]

Равные дуги одной окружности стягивают равные хорды. Следовательно, \(BD=AC\).

Что и требовалось доказать.