2. На окружности с центром O отмечены две точки M и N так, что угол MON прямой. Отрезок NP — диаметр окружности. Докажите, что хорды MN и MP равны. Найдите угол PMN.

1. Так как угол MON прямой (90 градусов), а NP — диаметр окружности, то треугольник MNP - вписанный в окружность, и угол MNP опирается на диаметр NP, следовательно угол MNP - прямой (90 градусов).
2. Угол MON = 90 градусов, и поскольку MON - центральный угол, то дуга MN = 90 градусов.
3. Поскольку NP - диаметр, то дуга NMP составляет 180 градусов. Тогда дуга MP равна 180 - 90 = 90 градусов.
4. Так как дуги MN и MP равны по 90 градусов, то хорды, стягивающие эти дуги, тоже равны: MN = MP.
5. Треугольник MNP является прямоугольным, у которого катеты MN и MP равны. Следовательно он равнобедренный и углы при основании PN равны. Сумма углов треугольника 180 градусов. То есть угол MPN равен углу MNP и оба угла равны (180 - 90) / 2 = 45 градусов.
6. Угол PMN равен 45 градусам.

**Ответ:** Хорды MN и MP равны, угол PMN равен 45 градусов.