2. На координатной плоскости изображены векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), координаты которых являются целыми числами. Найдите угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).

Задание 2. Угол между векторами

Чтобы найти угол между векторами, сначала определим их координаты. По изображениям на координатной плоскости:

• Вектор \(\vec{a}\) начинается в точке (0,0) и заканчивается в точке (-2, 4). Его координаты: \(\vec{a} = \langle -2, 4 \rangle\).
• Вектор \(\vec{b}\) начинается в точке (0,0) и заканчивается в точке (6, -2). Его координаты: \(\vec{b} = \langle 6, -2 \rangle\).

Для нахождения угла \(\theta\) между двумя векторами \(\vec{a} = \langle a_1, a_2 \rangle\) и \(\vec{b} = \langle b_1, b_2 \rangle\) используем формулу:

\[ \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \]\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 \]\[ |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \]\[ |\vec{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2} \]

1. Вычислим скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\):

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = (-2)(6) + (4)(-2) = -12 - 8 = -20 \]

2. Вычислим длины (модули) векторов:

\[ |\vec{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \]\[ |\vec{b}| = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} \]

3. Найдем косинус угла между векторами:

\[ \cos \theta = \frac{-20}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{40}} = \frac{-20}{\sqrt{800}} \]\[ \sqrt{800} = \sqrt{400 \cdot 2} = 20\sqrt{2} \]\[ \cos \theta = \frac{-20}{20\sqrt{2}} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

4. Определим угол \(\theta\):

Значение косинуса \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) соответствует углу \( 135^\circ \) (или \(\frac{3\pi}{4}\) радиан).

Ответ: 135°.