2. На доске написаны девять целых чисел от 1 до 5. Известно, что семь из них не меньше 2, шесть больше 2, три не меньше 4, одно — не меньше 5. Найдите сумму всех чисел.

Решение:

Всего на доске 9 чисел. Числа могут быть только 1, 2, 3, 4, 5.

1. Семь чисел не меньше 2: Это значит, что эти 7 чисел могут быть 2, 3, 4, 5. Противоположное утверждение: 9 - 7 = 2 числа меньше 2, то есть число 1. Значит, на доске максимум два числа 1.
2. Шесть чисел больше 2: Это значит, что эти 6 чисел могут быть 3, 4, 5. Противоположное утверждение: 9 - 6 = 3 числа не больше 2, то есть числа 1 или 2.
3. Три числа не меньше 4: Это значит, что эти 3 числа могут быть 4, 5. Противоположное утверждение: 9 - 3 = 6 чисел меньше 4, то есть числа 1, 2, 3.
4. Одно число не меньше 5: Это значит, что это число равно 5. Противоположное утверждение: 9 - 1 = 8 чисел меньше 5, то есть числа 1, 2, 3, 4.

Совместим условия:

• Из условия 4 следует, что одно число — 5.
• Из условия 3 следует, что три числа — 4 или 5. Так как одно число уже 5, то еще два числа должны быть 4. Итак, у нас есть: 5, 4, 4.
• Из условия 2 следует, что шесть чисел — 3, 4 или 5. У нас уже есть 5, 4, 4. Значит, нам нужно еще 6 - 3 = 3 числа из {3, 4, 5}. Так как 4 и 5 уже использованы, эти 3 числа должны быть 3. Итак, у нас есть: 5, 4, 4, 3, 3, 3.
• Из условия 1 следует, что семь чисел — 2, 3, 4, 5. У нас уже есть: 5, 4, 4, 3, 3, 3. Значит, нам нужно еще 7 - 6 = 1 число из {2, 3, 4, 5}. Так как 3, 4, 5 уже есть, это число должно быть 2. Итак, у нас есть: 5, 4, 4, 3, 3, 3, 2.
• Всего чисел 9. Мы нашли 7 чисел: 5, 4, 4, 3, 3, 3, 2. Осталось найти 9 - 7 = 2 числа.

Вернемся к условиям:

• Два числа меньше 2 (из условия 1): Это значит, что два числа равны 1.
• Три числа не больше 2 (из условия 2): У нас есть 5, 4, 4, 3, 3, 3, 2. Числа, не больше 2, это 1 и 2. У нас уже есть одно число 2. Мы нашли, что два числа равны 1. Значит, общее количество чисел 1 или 2 равно 1 (число 2) + 2 (числа 1) = 3. Это соответствует условию.
• Шесть чисел меньше 4 (из условия 3): У нас есть: 5, 4, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 1. Числа меньше 4: 3, 3, 3, 2, 1, 1. Их ровно 6. Это соответствует условию.

Таким образом, числа на доске:

• Два числа равны 1.
• Одно число равно 2.
• Три числа равны 3.
• Два числа равны 4.
• Одно число равно 5.

Проверим общее количество чисел: \( 2 + 1 + 3 + 2 + 1 = 9 \). Все условия соблюдены.

Найдем сумму всех чисел:

\( (1 \times 2) + (2 \times 1) + (3 \times 3) + (4 \times 2) + (5 \times 1) = 2 + 2 + 9 + 8 + 5 = 26 \)

Ответ: 26.