Решение:
Вставляем пропущенные буквы в корни слов, опираясь на проверочные слова в скобках:
- Отварить (вар) картофель
- обегать (бег) вокруг
- обедать (обед) маленьких
- запевать (пять) песню
- запевать (петь) водой
- посветить (свет) фонарём
- посвящать (свято) жизнь делу
- прожевать (жёваный) пищу
- проживать (жить) в городе
- оттворить (затвор) дверь
- флаги развеваются (веют)
- дети развиваются (развитие)
- примирить (мир) врагов
- примерять (мерка) костюм
- угодить (угодник) в точку
- отгадать (загадка) не удалось
- малыш слепил (лепит) чашку
- глаза слипаются (липкий)
Ответ: отварить; обегать; обедать; запевать; запевать; посветить; посвящать; прожевать; проживать; отворить; развеваются; развиваются; примирить; примерять; угодить; отгадать; слепил; слипаются.