2. Какая точка расположена внутри треугольника, образованного прямыми $$x = 5$$, $$y = 3$$, $$y = -x + 3$$?

Решение:

Треугольник образован тремя прямыми. Найдем вершины треугольника, находя точки их пересечения.

1. Пересечение \( x = 5 \) и \( y = 3 \): Точка \( (5; 3) \).
2. Пересечение \( x = 5 \) и \( y = -x + 3 \): Подставим \( x = 5 \) в уравнение \( y = -x + 3 \): \( y = -5 + 3 = -2 \). Точка \( (5; -2) \).
3. Пересечение \( y = 3 \) и \( y = -x + 3 \): Подставим \( y = 3 \) в уравнение \( y = -x + 3 \): \( 3 = -x + 3 \) => \( x = 0 \). Точка \( (0; 3) \).

Теперь проверим, какая из предложенных точек лежит внутри треугольника с вершинами \( (5; 3) \), \( (5; -2) \) и \( (0; 3) \). Условия для точек внутри треугольника:

• \( x < 5 \)
• \( y < 3 \)
• \( y > -x + 3 \)

Проверим предложенные точки:

• 1) \( (1; 1) \): \( 1 < 5 \), \( 1 < 3 \), \( 1 > -1 + 3 \) => \( 1 > 2 \) (неверно).
• 2) \( (-2; 2) \): \( -2 < 5 \), \( 2 < 3 \), \( 2 > -(-2) + 3 \) => \( 2 > 5 \) (неверно).
• 3) \( (2; 2) \): \( 2 < 5 \), \( 2 < 3 \), \( 2 > -2 + 3 \) => \( 2 > 1 \) (верно).
• 4) \( (0; 0) \): \( 0 < 5 \), \( 0 < 3 \), \( 0 > -0 + 3 \) => \( 0 > 3 \) (неверно).

Точка \( (2; 2) \) удовлетворяет всем условиям.

Ответ: 3) (2; 2).