2. К окружности с центром О проведена касательная CD (D – точка касания). Найдите радиус окружности, если отрезок ОС равен 5 см и ∠DCO = 30°.

Задание 2. Касательная к окружности

Дано:

• Окружность с центром O.
• CD — касательная, D — точка касания.
• OC = 5 см.
• \( ∠ DCO = 30^° \).

Найти: радиус окружности (OD).

Решение:

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, \( ∠ ODC = 90^° \).
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ODC.
3. У нас есть гипотенуза OC = 5 см и острый угол \( ∠ DCO = 30^° \).
4. Нам нужно найти катет OD, который лежит напротив угла \( ∠ DCO \).
5. В прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: \[ ∅ ∠ DCO = \frac{OD}{OC} \].
6. Выразим OD: \[ OD = OC · ∅ ∠ DCO \].
7. Подставим известные значения: \[ OD = 5 · ∅ 30^° \].
8. Значение \( ∅ 30^° = \frac{1}{2} \).
9. Рассчитаем: \[ OD = 5 · \frac{1}{2} = 2.5 \] см.
10. Радиус окружности равен OD.

Ответ: 2.5 см.