2) Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 77 км, вышел катер. Дойдя до пункта В, он вернулся в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть \(v\) - собственная скорость катера (в км/ч).

Скорость катера по течению: \(v + 4\) км/ч.

Скорость катера против течения: \(v - 4\) км/ч.

Расстояние между пунктами А и В: 77 км.

Время в пути по течению: \(t_1 = \frac{77}{v + 4}\) часов.

Время в пути против течения: \(t_2 = \frac{77}{v - 4}\) часов.

По условию, \(t_2 - t_1 = 2\) часа.

\(\frac{77}{v - 4} - \frac{77}{v + 4} = 2\)

Умножим обе части уравнения на \((v - 4)(v + 4)\):

\(77(v + 4) - 77(v - 4) = 2(v - 4)(v + 4)\)

\(77v + 308 - 77v + 308 = 2(v^2 - 16)\)

\(616 = 2v^2 - 32\)

\(2v^2 = 616 + 32\)

\(2v^2 = 648\)

\(v^2 = \frac{648}{2}\)

\(v^2 = 324\)

\(v = \sqrt{324}\)

\(v = 18\) км/ч.

Ответ: 18 км/ч.