2. Хорды MN и KL окружности пересекаются в точке А, причем MN делится точкой А на отрезки, равные 1см и 15см. На какие отрезки точка А делит KL, если KL в два раза меньше MN.

Решение:

Пусть \(MN\) и \(KL\) — хорды окружности, пересекающиеся в точке \(A\).

1. Длина хорды \(MN\) равна сумме длин отрезков, на которые она делится точкой \(A\): \(MN = AM + AN = 1 \text{ см} + 15 \text{ см} = 16 \text{ см}\).
2. По условию, длина хорды \(KL\) в два раза меньше длины хорды \(MN\): \(KL = \frac{MN}{2} = \frac{16 \text{ см}}{2} = 8 \text{ см}\).
3. Согласно теореме о пересекающихся хордах, произведение отрезков каждой хорды, на которые она делится точкой пересечения, равно: \(AM \cdot AN = AK \cdot AL\).
4. Подставим известные значения: \(1 \text{ см} \cdot 15 \text{ см} = AK \cdot AL\), то есть \(15 = AK \cdot AL\).
5. Также известно, что \(AK + AL = KL = 8 \text{ см}\).
6. Теперь у нас есть система уравнений:
   • \(AK · AL = 15\)
   • \(AK + AL = 8\)
7. Из второго уравнения выразим \(AL = 8 - AK\) и подставим в первое: \(AK(8 - AK) = 15\).
8. Раскроем скобки: \(8AK - AK^2 = 15\).
9. Приведём к квадратному уравнению: \(AK^2 - 8AK + 15 = 0\).
10. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \(D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 · 15 = 64 - 60 = 4\).
11. Корни уравнения: \(AK_1 = \frac{8 + √{4}}{2} = \frac{8 + 2}{2} = 5 \text{ см}\) и \(AK_2 = \frac{8 - √{4}}{2} = \frac{8 - 2}{2} = 3 \text{ см}\).
12. Если \(AK = 5 \text{ см}\), то \(AL = 8 - 5 = 3 \text{ см}\).
13. Если \(AK = 3 \text{ см}\), то \(AL = 8 - 3 = 5 \text{ см}\).

Таким образом, точка А делит хорду KL на отрезки длиной 3 см и 5 см.

Ответ: 3 см и 5 см.