2) Двум экскаваторам дано задание вырыть котлован. Работая вместе, они могут выполнить это задание за 20 дней. Но сначала 24 дня проработал один экскаватор, а затем работу закончил второй. За сколько времени было выполнено задание, если экскаватор, работавший первым, может один вырыть весь котлован за 36 дней?

Решение:

1. Определим производительность первого экскаватора.

Если первый экскаватор может вырыть котлован за 36 дней, то его производительность составляет \( \frac{1}{36} \) котлована в день.

2. Определим, какую часть работы выполнил первый экскаватор за 24 дня.

Работа первого экскаватора = \( \text{производительность} \times \text{время} = \frac{1}{36} \times 24 = \frac{24}{36} = \frac{2}{3} \) котлована.

3. Определим, какую часть работы должен выполнить второй экскаватор.

Оставшаяся работа = \( 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \) котлована.

4. Определим производительность второго экскаватора.

Работая вместе, два экскаватора выполняют задание за 20 дней. Их совместная производительность составляет \( \frac{1}{20} \) котлована в день.

Совместная производительность = производительность первого + производительность второго.

\( \frac{1}{20} = \frac{1}{36} + \text{производительность второго} \)

Производительность второго = \( \frac{1}{20} - \frac{1}{36} \)

Приведем к общему знаменателю (180):

Производительность второго = \( \frac{9}{180} - \frac{5}{180} = \frac{4}{180} = \frac{1}{45} \) котлована в день.

5. Определим, за сколько дней второй экскаватор выполнит оставшуюся работу.

Время второго экскаватора = \( \frac{\text{оставшаяся работа}}{\text{производительность второго}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{45}} = \frac{1}{3} \times 45 = 15 \) дней.

6. Найдем общее время выполнения задания.

Общее время = время работы первого + время работы второго = 24 дня + 15 дней = 39 дней.

Ответ: 39 дней.