Контрольные задания
Вопрос:

2. Докажите признак равенства равнобедренных треугольников по основанию и медиане, проведённой к основанию.

Фото задания: 2. Докажите признак равенства равнобедренных треугольников по основанию и медиане, проведённой к основанию.Фото задания

Ответ:

Доказательство признака:

Признак: Два равнобедренных треугольника равны, если они имеют равные основания и равные медианы, проведённые к этим основаниям.

Дано:

  • Равнобедренные \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \).
  • \( AC = BC \) (основание \( \triangle ABC \)), \( A_1C_1 = B_1C_1 \) (основание \( \triangle A_1B_1C_1 \)).
  • \( AC = A_1C_1 \) (основания равны).
  • \( CM \) — медиана к основанию \( AB \) в \( \triangle ABC \), \( C_1M_1 \) — медиана к основанию \( A_1B_1 \) в \( \triangle A_1B_1C_1 \).
  • \( CM = C_1M_1 \) (медианы равны).

Доказать: \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \).

Доказательство:

  1. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой и биссектрисой.
  2. Значит, \( CM \perp AB \) и \( C_1M_1 \perp A_1B_1 \).
  3. Рассмотрим треугольники \( \triangle ACM \) и \( \triangle A_1C_1M_1 \).
  4. По условию \( AC = A_1C_1 \).
  5. По условию \( CM = C_1M_1 \).
  6. \( \angle AMC = 90^{\circ} \) и \( \angle A_1M_1C_1 = 90^{\circ} \) (так как медиана является высотой).
  7. По третьему признаку равенства прямоугольных треугольников (по двум катетам), \( \triangle ACM = \triangle A_1C_1M_1 \).
  8. Из равенства этих треугольников следует, что \( AM = A_1M_1 \).
  9. Так как \( AM \) и \( A_1M_1 \) — половины равных оснований \( AB \) и \( A_1B_1 \) соответственно ( \( AB = 2AM \) и \( A_1B_1 = 2A_1M_1 \)), то \( AB = A_1B_1 \).
  10. Теперь рассмотрим \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \).
  11. У них равны основания: \( AB = A_1B_1 \) (доказано).
  12. У них равны боковые стороны: \( AC = A_1C_1 \) (по условию).
  13. У них равны медианы, проведённые к основаниям: \( CM = C_1M_1 \) (по условию).
  14. Если два треугольника имеют равные стороны и равные медианы, проведённые к этим сторонам, то они равны. (Можно также использовать равенство углов при основании, т.к. \( \angle CAM = \angle C_1A_1M_1 \) из \( \triangle ACM = \triangle A_1C_1M_1 \), и тогда применить первый признак равенства треугольников: \( AB=A_1B_1 \), \( \angle A = \angle A_1 \), \( AC=A_1C_1 \)).
  15. Следовательно, \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \).

Признак доказан.