2. Докажите, что сечение многогранника, проходящее через точки M, N и P, — прямоугольник, и найдите площадь этого сечения. Считайте, что многогранник правильный, длины всех рёбер равны 1, точки M, N и P — вершины или середины рёбер.

По рисунку многогранник является кубом с ребром 1. Точка M — середина нижнего переднего ребра, точка N — верхняя вершина заднего правого ребра, а точка P — его середина.

Введём координаты куба: передняя левая нижняя вершина имеет координаты \((0,0,0)\), а направления вдоль трёх рёбер задаются осями координат. Тогда можно записать:

\(M\left(\frac12,0,0\right)\), \(N(1,1,1)\), \(P\left(1,1,\frac12\right)\).

1. Найдём уравнение плоскости \((MNP)\). Векторы

   \(\overrightarrow{MN}=\left(\frac12,1,1\right)\), \(\overrightarrow{MP}=\left(\frac12,1,\frac12\right)\).

   Их векторное произведение перпендикулярно плоскости \((MNP)\):

   \(\overrightarrow{MN}\times\overrightarrow{MP}=\left(-\frac12,\frac14,0\right)\).

   Поэтому уравнение плоскости имеет вид \(-2x+y+1=0\), или \(y=2x-1\).

2. Уравнение плоскости не содержит координату \(z\). Поэтому сечение представляет собой произведение отрезка в плоскости \(xy\) на вертикальный отрезок длины 1.

   В плоскости \(xy\) отрезок сечения соединяет точки \(\left(\frac12,0\right)\) и \((1,1)\). При подъёме этого отрезка на высоту 1 получается прямоугольник: его вертикальные стороны параллельны рёбрам куба, а горизонтальные стороны равны и параллельны отрезку, соединяющему указанные точки.

3. Длина одной стороны сечения равна высоте куба:

   \(h=1\).

   Длина второй стороны равна длине отрезка между точками \(M\) и \(P\) в горизонтальном направлении:

   \(a=\sqrt{\left(1-\frac12\right)^2+(1-0)^2}=\sqrt{\frac14+1}=\frac{\sqrt5}{2}\).

4. Следовательно, площадь сечения равна

   \[S=ah=\frac{\sqrt5}{2}\cdot1=\frac{\sqrt5}{2}.\]

Точка \(P\) лежит на боковой стороне сечения, а точка \(N\) является верхней вершиной этой стороны; это не меняет форму сечения.

Ответ: сечение — прямоугольник; его площадь равна \(\frac{\sqrt5}{2}\).