№ 2. Длина образующей конуса равна 26 см и составляет с плоскостью основания угол 30°. Вычислите площадь полной поверхности и объем конуса.

Решение:

Угол между образующей и плоскостью основания — это угол между образующей и радиусом основания, проведённым в ту же точку на окружности. Обозначим его \( \alpha = 30^{\circ} \).

Найдём радиус основания \( r \) и высоту \( h \) конуса, используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом и образующей:

\(

\sin \alpha = \frac{h}{l} \implies h = l \sin \alpha = 26 \cdot \sin 30^{\circ} = 26 \cdot \frac{1}{2} = 13 \) см.

\(

\cos \alpha = \frac{r}{l} \implies r = l \cos \alpha = 26 \cdot \cos 30^{\circ} = 26 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 13\sqrt{3} \) см.

Площадь полной поверхности конуса: \( S = \pi r (r + l) \).

\( S = \pi \cdot 13\sqrt{3} (13\sqrt{3} + 26) = 169\pi \cdot 3 + 338\pi \sqrt{3} = 507\pi + 338\pi\sqrt{3} \) см².

Объем конуса: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \).

\( V = \frac{1}{3} \pi (13\sqrt{3})^2 \cdot 13 = \frac{1}{3} \pi (169 \cdot 3) \cdot 13 = \frac{1}{3} \pi \cdot 507 \cdot 13 = 169 \pi \cdot 13 = 2197\pi \) см³.

Ответ: Площадь полной поверхности конуса равна \( (507 + 338\sqrt{3})\pi \) см², объем конуса равен \( 2197\pi \) см³.