2. Даны векторы $$\vec{a} = (1, -1)$$, $$\vec{b} = (-2, 3)$$, $$\vec{c} = (1, 1)$$. Проверить их на зависимость, независимость. Выразить вектор $$\vec{c}$$ через векторы $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$.

Question

Вопрос:

2. Даны векторы $$\vec{a} = (1, -1)$$, $$\vec{b} = (-2, 3)$$, $$\vec{c} = (1, 1)$$. Проверить их на зависимость, независимость. Выразить вектор $$\vec{c}$$ через векторы $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

Чтобы проверить векторы $$\vec{a}$$, $$\vec{b}$$, $$\vec{c}$$ на линейную зависимость, составим матрицу из этих векторов и найдем её определитель. Если определитель равен нулю, векторы линейно зависимы, иначе — линейно независимы.

1. Проверка на линейную зависимость

Запишем векторы в виде строк или столбцов матрицы:

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \]

Так как количество векторов (3) больше размерности пространства (2), векторы обязательно линейно зависимы.

Для трех векторов в двумерном пространстве, если они лежат на одной прямой (коллинеарны) или два из них являются линейными комбинациями третьего, они линейно зависимы.

Проверим, можно ли выразить один вектор через другие. Для двух векторов $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$, они линейно зависимы, если один является множителем другого, то есть $$\vec{a} = k \vec{b}$$. В нашем случае $$1 = k(-2)$$ и $$-1 = k(3)$$, что дает $$k = -1/2$$ и $$k = -1/3$$, что невозможно.

Так как у нас три вектора в двумерном пространстве, они всегда линейно зависимы.

2. Выражение вектора $$\vec{c}$$ через векторы $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$

Ищем такие числа $$\alpha$$ и $$\beta$$, что $$\vec{c} = \alpha \vec{a} + \beta \vec{b}$$.

\[ (1, 1) = \alpha (1, -1) + \beta (-2, 3) \]\[ (1, 1) = (\alpha, -\alpha) + (-2\beta, 3\beta) \]\[ (1, 1) = (\alpha - 2\beta, -\alpha + 3\beta) \]

Получаем систему уравнений:

1) $ \alpha - 2\beta = 1 $

2) $ -\alpha + 3\beta = 1 $

Сложим уравнения (1) и (2):

$ (\alpha - 2\beta) + (- \alpha + 3\beta) = 1 + 1 $

$ \beta = 2 $

Подставим значение $ \beta = 2 $ в уравнение (1):

$ \alpha - 2(2) = 1 $

$ \alpha - 4 = 1 $

$ \alpha = 5 $

Проверим полученные значения: $$5(1, -1) + 2(-2, 3) = (5, -5) + (-4, 6) = (5-4, -5+6) = (1, 1)$$. Это соответствует вектору $$\vec{c}$$.

Ответ: Векторы $$\vec{a}$$, $$\vec{b}$$, $$\vec{c}$$ линейно зависимы. Вектор $$\vec{c}$$ выражается через $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$ как $$\vec{c} = 5\vec{a} + 2\vec{b}$$.