2. Даны векторы k (x₀; 0) и l (-3; y₀), косинус угла между которыми равен -3/5. Найди y₀. Если таких значений несколько, в ответ запиши большее из них.

Решение:

Для нахождения \(y_0\) воспользуемся формулой косинуса угла между двумя векторами:

\( \cos(\alpha) = \frac{\vec{k} \cdot \vec{l}}{|\vec{k}| |\vec{l}|} \)

Где \(\vec{k} = (x_0; 0)\) и \(\vec{l} = (-3; y_0)\).

Найдем скалярное произведение векторов:

\( \vec{k} \cdot \vec{l} = x_0 \cdot (-3) + 0 \cdot y_0 = -3x_0 \)

Найдем длины векторов:

\( |\vec{k}| = \sqrt{x_0^2 + 0^2} = \sqrt{x_0^2} = |x_0| \)

\( |\vec{l}| = \sqrt{(-3)^2 + y_0^2} = \sqrt{9 + y_0^2} \)

Подставим известные значения в формулу косинуса:

\( -\frac{3}{5} = \frac{-3x_0}{|x_0| \sqrt{9 + y_0^2}} \)

Упростим уравнение:

\( \frac{3}{5} = \frac{3x_0}{|x_0| \sqrt{9 + y_0^2}} \)

\( \frac{1}{5} = \frac{x_0}{|x_0| \sqrt{9 + y_0^2}} \)

Рассмотрим два случая для \( |x_0| \):

1. Случай 1: \( x_0 > 0 \)

Тогда \( |x_0| = x_0 \).

\( \frac{1}{5} = \frac{x_0}{x_0 \sqrt{9 + y_0^2}} \)

\( \frac{1}{5} = \frac{1}{\sqrt{9 + y_0^2}} \)

\( \sqrt{9 + y_0^2} = 5 \)

Возведем обе стороны в квадрат:

\( 9 + y_0^2 = 25 \)

\( y_0^2 = 25 - 9 \)

\( y_0^2 = 16 \)

\( y_0 = \pm 4 \)

2. Случай 2: \( x_0 < 0 \)

Тогда \( |x_0| = -x_0 \).

\( \frac{1}{5} = \frac{x_0}{-x_0 \sqrt{9 + y_0^2}} \)

\( \frac{1}{5} = \frac{-1}{\sqrt{9 + y_0^2}} \)

\( \sqrt{9 + y_0^2} = -5 \)

Это уравнение не имеет действительных решений, так как корень из числа не может быть отрицательным.

Таким образом, возможные значения \(y_0\) — это \(4\) и \(-4\).

По условию, если таких значений несколько, нужно записать большее из них.

Ответ: 4