2. Даны три вершины параллелограмма АВСД: В(6;5), С(7:2), Д(1;0). Найдите координаты вершины А и точку пересечения диагоналей. [3]

Задание 2. Параллелограмм АВСД

Дано:

• Вершина В: \( (6; 5) \)
• Вершина С: \( (7; 2) \)
• Вершина Д: \( (1; 0) \)

Найти: координаты вершины А и точку пересечения диагоналей.

Решение:

1. Координаты вершины А:

В параллелограмме диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Также, в параллелограмме сумма противоположных углов равна 180 градусов, а противоположные стороны параллельны и равны. Воспользуемся свойством, что сумма координат противоположных вершин параллелограмма равна. То есть, \( x_A + x_C = x_B + x_D \) и \( y_A + y_C = y_B + y_D \).

Найдём координату x для точки А:

\[ x_A + 7 = 6 + 1 \]

\[ x_A + 7 = 7 \]

\[ x_A = 7 - 7 = 0 \]

Найдём координату y для точки А:

\[ y_A + 2 = 5 + 0 \]

\[ y_A + 2 = 5 \]

\[ y_A = 5 - 2 = 3 \]

Таким образом, координаты вершины А: \( (0; 3) \).

2. Точка пересечения диагоналей:

Точка пересечения диагоналей является серединой любой из диагоналей (например, АС или ВD). Найдем середину диагонали АС:

\[ M_{AC} = \left( \frac{x_A + x_C}{2}; \frac{y_A + y_C}{2} \right) \]

\[ M_{AC} = \left( \frac{0 + 7}{2}; \frac{3 + 2}{2} \right) \]

\[ M_{AC} = \left( \frac{7}{2}; \frac{5}{2} \right) = (3.5; 2.5) \]

Проверим, найдя середину диагонали ВD:

\[ M_{BD} = \left( \frac{x_B + x_D}{2}; \frac{y_B + y_D}{2} \right) \]

\[ M_{BD} = \left( \frac{6 + 1}{2}; \frac{5 + 0}{2} \right) \]

\[ M_{BD} = \left( \frac{7}{2}; \frac{5}{2} \right) = (3.5; 2.5) \]

Координаты точки пересечения диагоналей совпадают, что подтверждает правильность расчетов.

Ответ: Координаты вершины А: \( (0; 3) \). Точка пересечения диагоналей: \( (3.5; 2.5) \).