2) Дано: $$\angle HCM = 20^{\circ}$$, $$\triangle ABC$$ — прямоугольный, $$\angle BHC = 90^{\circ}$$, $$BM = MA$$. Найти: $$\angle B, \angle A$$.

Решение:

В данной задаче нам нужно найти углы \(\angle B\) и \(\angle A\) в прямоугольном треугольнике \(\triangle ABC\). У нас есть информация о том, что \(\angle HCM = 20^{\circ}\), \(\angle BHC = 90^{\circ}\) и \(BM = MA\).

1. Рассмотрим \(\triangle BHC\). Так как \(\angle BHC = 90^{\circ}\), то \(\triangle BHC\) — прямоугольный.
2. В \(\triangle BHC\) мы знаем, что \(CH\) — высота.
3. Нам дано, что \(BM = MA\). Это означает, что точка \(M\) — середина гипотенузы \(AB\) в \(\triangle ABC\).
4. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Значит, \(CM = MA = MB\).
5. Рассмотрим \(\triangle CMH\). Мы знаем, что \(\angle CHM = 90^{\circ}\) (так как \(CH\) — высота).
6. Из условия \(CM = MA\) следует, что \(\triangle CMA\) — равнобедренный.
7. Из условия \(CM = MB\) следует, что \(\triangle CMB\) — равнобедренный.
8. В \(\triangle CMA\) углы при основании \(CA\) равны.
9. В \(\triangle CMB\) углы при основании \(CB\) равны.
10. Поскольку \(CM = MA\), то \(\triangle CMA\) — равнобедренный. Углы при основании \(AC\) равны.
11. Поскольку \(CM = MB\), то \(\triangle CMB\) — равнобедренный. Углы при основании \(CB\) равны.
12. Рассмотрим \(\triangle BHC\). У нас есть \(\angle BCH + \angle HBC = 90^{\circ}\).
13. Рассмотрим \(\triangle AHC\). У нас есть \(\angle ACH + \angle HAC = 90^{\circ}\).
14. В \(\triangle ABC\): \(\angle A + \angle B = 90^{\circ}\).
15. Из условия \(BM = MA\) следует, что \(CM\) — медиана к гипотенузе \(AB\). В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то есть \(CM = MA = MB\).
16. Рассмотрим \(\triangle CMH\). \(\angle CHM = 90^{\circ}\).
17. Так как \(CM = MA\), то \(\triangle CMA\) — равнобедренный. \(\angle MCA = \angle MAC = \angle A\).
18. Так как \(CM = MB\), то \(\triangle CMB\) — равнобедренный. \(\angle MCB = \angle MBC = \angle B\).
19. Мы знаем, что \(\angle ACB = 90^{\circ}\). \(\angle ACB = \angle MCA + \angle MCB\).
20. \(90^{\circ} = \angle A + \angle B\). Это совпадает с условием прямоугольного \(\triangle ABC\).
21. Теперь воспользуемся условием \(\angle HCM = 20^{\circ}\).
22. \(\angle ACH = \angle ACB - \angle BCH = 90^{\circ} - \angle BCH\).
23. \(\angle ACH = \angle MCA + \angle HCM = \angle A + 20^{\circ}\).
24. \(\angle BCH = \angle MCB - \angle HCM = \angle B - 20^{\circ}\).
25. В прямоугольном \(\triangle BHC\): \(\angle BCH + \angle HBC = 90^{\circ}\).
26. \((\angle B - 20^{\circ}) + \angle B = 90^{\circ}\) — это неверно, так как \(\angle HBC = \angle B\).
27. Правильно: \(\angle BCH + \angle B = 90^{\circ}\).
28. \(\angle ACH + \angle A = 90^{\circ}\).
29. Подставим \(\angle ACH = \angle A + 20^{\circ}\) в \(\angle ACH + \angle A = 90^{\circ}\):
30. \((\angle A + 20^{\circ}) + \angle A = 90^{\circ}\)
31. \(2\angle A + 20^{\circ} = 90^{\circ}\)
32. \(2\angle A = 70^{\circ}\)
33. \(\angle A = 35^{\circ}\)
34. Теперь найдём \(\angle B\) из \(\angle A + \angle B = 90^{\circ}\):
35. \(35^{\circ} + \angle B = 90^{\circ}\)
36. \(\angle B = 55^{\circ}\)
37. Проверим условие \(\angle HCM = 20^{\circ}\).
38. \(\angle BCH = \angle B - \angle MCB\). Это неверно.
39. \(\angle BCH = \angle BHC - \angle HBC = 90^{\circ} - \angle B\).
40. \(\angle ACH = \angle AHC - \angle HAC = 90^{\circ} - \angle A\).
41. \(\angle ACB = \angle ACH + \angle BCH = (90^{\circ} - \angle A) + (90^{\circ} - \angle B) = 180^{\circ} - (\angle A + \angle B) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}\).
42. \(\angle ACH = \angle MCA + \angle HCM = \angle A + 20^{\circ}\).
43. \(\angle BCH = \angle MCB - \angle HCM = \angle B - 20^{\circ}\).
44. Подставим \(\angle BCH = \angle B - 20^{\circ}\) в \(\angle BCH + \angle B = 90^{\circ}\) — это неверно.
45. Правильно: \(\angle BCH + \angle B = 90^{\circ}\) — это верно для \(\triangle BHC\).
46. \(\angle BCH = 90^{\circ} - \angle B\).
47. \(\angle A + 20^{\circ} = 90^{\circ} - \angle B\).
48. \(\angle A + \angle B = 70^{\circ}\).
49. Но мы знаем, что \(\angle A + \angle B = 90^{\circ}\) для \(\triangle ABC\).
50. Получаем противоречие. Давайте пересмотрим рассуждение.
51. В \(\triangle ABC\), \(\angle ACB = 90^{\circ}\). \(CH\) — высота. \(M\) — середина \(AB\).
52. \(CM = MA = MB\) (медиана к гипотенузе).
53. \(\triangle CMA\) — равнобедренный, \(\angle MCA = \angle MAC = \angle A\).
54. \(\triangle CMB\) — равнобедренный, \(\angle MCB = \angle MBC = \angle B\).
55. \(\angle ACB = \angle MCA + \angle MCB = \angle A + \angle B = 90^{\circ}\).
56. У нас есть \(\angle HCM = 20^{\circ}\).
57. \(\angle ACH = \angle MCA + \angle HCM = \angle A + 20^{\circ}\).
58. В прямоугольном \(\triangle AHC\): \(\angle ACH + \angle HAC = 90^{\circ}\).
59. \((\angle A + 20^{\circ}) + \angle A = 90^{\circ}\)
60. \(2\angle A + 20^{\circ} = 90^{\circ}\)
61. \(2\angle A = 70^{\circ}\)
62. \(\angle A = 35^{\circ}\).
63. Тогда \(\angle B = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 35^{\circ} = 55^{\circ}\).
64. Давайте проверим \(\angle BCH\).
65. \(\angle BCH = \angle MCB - \angle HCM\).
66. \(\angle MCB = \angle B = 55^{\circ}\).
67. \(\angle BCH = 55^{\circ} - 20^{\circ} = 35^{\circ}\).
68. В \(\triangle BHC\): \(\angle BCH + \angle HBC = 35^{\circ} + 55^{\circ} = 90^{\circ}\). Это верно.
69. Итак, \(\angle A = 35^{\circ}\) и \(\angle B = 55^{\circ}\).

Ответ: \(\angle B = 55^{\circ}, \angle A = 35^{\circ}\).