2. Дано: ABCD A₁B₁C₁D₁ – параллелепипед, B₁O=k·AB+m·BC+n·DD₁.

Решение:

В этом задании нам нужно найти коэффициенты k, m, n для вектора \( \vec{B_1O} \) в базисе \( \vec{AB}, \vec{BC}, \vec{DD_1} \).

Сначала определим положение точки O. Точка O — центр параллелепипеда. То есть, O является серединой диагонали \( \vec{AC_1} \) и \( \vec{BD_1} \).

Мы можем выразить \( \vec{B_1O} \) через векторы базиса. Для начала, выразим \( \vec{AO} \) и \( \vec{AB_1} \) через базисные векторы \( \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AA_1} \).

\( \vec{AO} = \frac{1}{2} \vec{AC_1} = \frac{1}{2} (\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}) \)

\( \vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{AA_1} \)

Тогда \( \vec{B_1O} = \vec{AO} - \vec{AB_1} = \frac{1}{2} (\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}) - (\vec{AB} + \vec{AA_1}) \)

\( \vec{B_1O} = \frac{1}{2} \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AD} + \frac{1}{2} \vec{AA_1} - \vec{AB} - \vec{AA_1} \)

\( \vec{B_1O} = -\frac{1}{2} \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AD} - \frac{1}{2} \vec{AA_1} \)

Теперь нам нужно выразить этот вектор через базис \( \vec{AB}, \vec{BC}, \vec{DD_1} \).

Заменим \( \vec{AD} \) и \( \vec{AA_1} \) через новый базис:

• \( \vec{AD} = \vec{BC} \) (так как ABCD — параллелограмм)
• \( \vec{DD_1} = \vec{AA_1} \) (так как AA₁D₁D — параллелограмм)

Подставляем:

\( \vec{B_1O} = -\frac{1}{2} \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{BC} - \frac{1}{2} \vec{DD_1} \)

Сравнивая с \( \vec{B_1O} = k \cdot \vec{AB} + m \cdot \vec{BC} + n \cdot \vec{DD_1} \), получаем:

• \( k = -1/2 \)
• \( m = 1/2 \)
• \( n = -1/2 \)

Ответ: k = -0.5, m = 0.5, n = -0.5.