2.cos x + cos 3x = cos 2x

Решение:

Воспользуемся формулой суммы косинусов: \( \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \).

Применим её к левой части уравнения:

\( 2 \cos x + \cos 3x = \cos 2x \)

\( \cos x + (\cos x + \cos 3x) = \cos 2x \)

\( \cos x + 2 \cos \frac{x + 3x}{2} \cos \frac{x - 3x}{2} = \cos 2x \)

\( \cos x + 2 \cos 2x \cos (-x) = \cos 2x \)

Так как \( \cos(-x) = \cos x \), получаем:

\( \cos x + 2 \cos 2x \cos x = \cos 2x \)

\( \cos x (1 + 2 \cos 2x) = \cos 2x \)

Перенесём все члены в одну сторону:

\( \cos x + 2 \cos x \cos 2x - \cos 2x = 0 \)

Сгруппируем члены:

\( \cos x (1 + 2 \cos 2x) - \cos 2x = 0 \)

Теперь используем формулу двойного угла для косинуса: \( \cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 \).

Подставим её в уравнение:

\( \cos x + 2 \cos 2x \cos x = \cos 2x \)

\( \cos x + 2 \cos x (2 \cos^2 x - 1) = (2 \cos^2 x - 1) \)

\( \cos x + 4 \cos^3 x - 2 \cos x = 2 \cos^2 x - 1 \)

\( 4 \cos^3 x - 2 \cos^2 x - \cos x + 1 = 0 \)

Сделаем замену: \( y = \cos x \).

\( 4y^3 - 2y^2 - y + 1 = 0 \)

Разложим на множители:

\( 2y^2(2y - 1) - 1(2y - 1) = 0 \)

\( (2y^2 - 1)(2y - 1) = 0 \)

Это даёт два случая:

1. \( 2y - 1 = 0 \) \( \implies y = \frac{1}{2} \) \( \implies \cos x = \frac{1}{2} \).

Решения: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.

2. \( 2y^2 - 1 = 0 \) \( \implies y^2 = \frac{1}{2} \) \( \implies y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \) \( \implies \cos x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Если \( \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \), то \( x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

Если \( \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \), то \( x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi m \), где \( m \) — целое число.

Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \), \( x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k \), \( x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi m \), где \( n, k, m \) — целые числа.