2. cos 2x + 3 sin x = 2.

Решение:

1. Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \)
2. Подставим в исходное уравнение: \( 1 - 2\sin^2 x + 3\sin x = 2 \)
3. Перенесём все члены в одну часть: \( -2\sin^2 x + 3\sin x - 1 = 0 \)
4. Умножим уравнение на -1 для удобства: \( 2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0 \)
5. Сделаем замену переменной: пусть \( t = \sin x \). Получим квадратное уравнение: \( 2t^2 - 3t + 1 = 0 \)
6. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \)
7. Найдём корни квадратного уравнения:
8. \( t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 \)
9. \( t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
10. Вернёмся к замене \( t = \sin x \).
11. Случай 1: \( \sin x = 1 \)
12. Общее решение: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)
13. Случай 2: \( \sin x = \frac{1}{2} \)
14. Общее решение: \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) или \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \)

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) и \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).