№2. Число 10201п записано в системе счисления с основанием п (п > 1). Определите наибольшее возможное значение п, для которого 10201 < 1010010. Для этого значения п в ответе запишите представление данного числа в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

Решение:

Дано число \( 10201_p \) в системе счисления с основанием \( p \) и число \( 1010010_{10} \) в десятичной системе счисления. Нам нужно найти наибольшее возможное значение \( p \) (где \( p > 1 \)), для которого \( 10201_p < 1010010_{10} \).

Сначала переведём число \( 10201_p \) в десятичную систему счисления:

\[ 10201_p = 1 \cdot p^4 + 0 \cdot p^3 + 2 \cdot p^2 + 0 \cdot p^1 + 1 \cdot p^0 = p^4 + 2p^2 + 1 \]

Теперь у нас есть неравенство в десятичной системе:

\[ p^4 + 2p^2 + 1 < 1010010 \]

Заметим, что левая часть является полным квадратом:

\[ (p^2 + 1)^2 < 1010010 \]

Извлечём квадратный корень из обеих частей:

\[ p^2 + 1 < \sqrt{1010010} \]

Вычислим квадратный корень из \( 1010010 \):

\[ \sqrt{1010010} \approx 1004.99 \]

Таким образом, у нас получается:

\[ p^2 + 1 < 1004.99 \]

\[ p^2 < 1003.99 \]

Теперь найдём наибольшее целое \( p \), удовлетворяющее этому условию. Так как \( p > 1 \), мы ищем наибольшее \( p \) такое, что \( p^2 < 1003.99 \).

Проверим квадраты чисел:

\[ 30^2 = 900 \]

\[ 31^2 = 961 \]

\[ 32^2 = 1024 \]

Наибольшее целое значение \( p \), для которого \( p^2 < 1003.99 \), равно \( 31 \). Так как \( p \) является основанием системы счисления, оно должно быть больше 1. Значение \( p=31 \) удовлетворяет этому условию.

Теперь нам нужно найти представление числа \( 10201_{31} \) в десятичной системе счисления. Мы уже вывели формулу для этого:

\[ 10201_p = p^4 + 2p^2 + 1 \]

Подставим \( p = 31 \):

\[ 10201_{31} = 31^4 + 2 \cdot 31^2 + 1 \]

\[ 31^2 = 961 \]

\[ 31^4 = (31^2)^2 = 961^2 = 923521 \]

\[ 10201_{31} = 923521 + 2 \cdot 961 + 1 \]

\[ 10201_{31} = 923521 + 1922 + 1 \]

\[ 10201_{31} = 925444 \]

Таким образом, наибольшее возможное значение \( p \) равно 31, и число \( 10201_{31} \) в десятичной системе равно 925444.

Ответ: 925444