2. Через концы диаметра AB окружности с центром О проведены параллельные хорды BC и AD (рис. 272). Докажите, что AD = BC.

Дано:

• Окружность с центром О.
• AB — диаметр.
• BC || AD (параллельные хорды).

Доказать:

• AD = BC.

Доказательство:

1. Параллельные хорды и дуги: Если две хорды в окружности параллельны, то дуги, заключенные между ними, равны. В данном случае, хорды BC и AD параллельны, следовательно, дуга AC = дуга BD.
2. Равные дуги и хорды: Равные дуги стягиваются равными хордами. Так как дуга AC = дуга BD, то хорды, которые их стягивают, равны: AC = BD.
3. Рассмотрим треугольники: \(\triangle ABC\) и \(\triangle BAD\).
4. \(\angle ACB\) — вписанный угол, опирающийся на диаметр AB. Следовательно, \(\angle ACB = 90^\circ\).
5. \(\angle ADB\) — вписанный угол, опирающийся на диаметр AB. Следовательно, \(\angle ADB = 90^\circ\).
6. Общая сторона: AB — общая сторона для \(\triangle ABC\) и \(\triangle BAD\).
7. Равенство треугольников по гипотенузе и острому углу: \(\triangle ABC\) и \(\triangle BAD\) — прямоугольные треугольники. У них равны гипотенузы (AB) и равны острые углы, опирающиеся на эти гипотенузы. \(\ ext{Угол ACB}\\) опирается на AB. \(\ ext{Угол ADB}\\) опирается на AB.
8. Второй подход:
9. Параллельность хорд и секущих: Так как BC || AD, то секущая AC образует равные накрест лежащие углы при параллельных прямых. Однако, AC не является секущей, пересекающей BC и AD.
10. Рассмотрим углы, опирающиеся на дуги:
11. \(\ ext{Дуга AC}\\) = \(\ ext{Дуга BD}\\) (из условия параллельности BC || AD).
12. \(\ ext{Хорда AC}\\) = \(\ ext{Хорда BD}\\) (как хорды, стягивающие равные дуги).
13. Рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle BAD\):
14. 1. AB — общая сторона (диаметр).
15. 2. \(\ ext{Хорда BC}\\) = \(\ ext{Хорда AD}\\) — нужно доказать.
16. 3. \(\ ext{Угол ACB}\\) = \(\ ext{Угол ADB}\\) = \(90^°\°\°\°\°\°\°\°\) (опираются на диаметр AB).
17. Что нам дает параллельность BC || AD?
18. Равные накрест лежащие углы: Если провести секущую AC, то \(\ ext{Угол BCA}\\) и \(\ ext{Угол CAD}\\) являются накрест лежащими. \(\ ext{Угол BCA}\\) = \(\angle CAD\).
19. \(\ ext{Угол BCA}\\) = \(90^°\°\°\°\°\°\°\°\) (угол, опирающийся на диаметр).
20. Следовательно, \(\ ext{Угол CAD}\\) = \(90^°\°\°\°\°\°\°\°\).
21. \(\ ext{Угол CAD}\\) - вписанный угол, опирающийся на дугу CD. Это значит, что дуга CD = \(2 imes 90^° = 180^°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\), что невозможно, так как CD - это часть окружности.
22. Переосмыслим: BC || AD.
23. Свойство параллельных хорд: Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны. То есть, дуга AC = дуга BD.
24. Равные дуги стягиваются равными хордами.
25. Следовательно, хорда AC = хорда BD.
26. Теперь рассмотрим треугольники: \(\triangle ABC\) и \(\triangle BAD\).
27. 1. AB = BA (общая сторона, гипотенуза).
28. 2. \(\ ext{Угол ACB}\\) = \(\ ext{Угол ADB}\\) = \(90^°\°\°\°\°\°\°\°\) (упираются в диаметр).
29. 3. AC = BD (доказано выше, что стягивают равные дуги).
30. По двум катетам и гипотенузе (гипотенузе и острому углу): \(\triangle ABC\) = \(\triangle BAD\) по гипотенузе и катету (AB = BA, AC = BD).
31. Следовательно, соответствующие стороны равны: BC = AD.
32. Доказано.

Альтернативное доказательство:

1. Параллельность хорд и накрест лежащие углы: Проведем секущую AC. Так как BC || AD, то \(\ ext{Угол BCA}\\) = \(\ ext{Угол CAD}\\) (накрест лежащие углы).
2. Углы, опирающиеся на равные дуги: \(\ ext{Угол BCA}\\) опирается на дугу AB (диаметр), значит \(\ ext{Угол BCA}\\) = \(90^°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\).
3. Ошибка в рассуждении: \(\ ext{Угол BCA}\\) опирается на дугу BA, которая является полуокружностью.
4. \(\ ext{Угол CAD}\\) опирается на дугу CD.
5. Вернемся к свойству параллельных хорд: BC || AD. Это означает, что дуги AC и BD равны.
6. Равные дуги имеют равные хорды: AC = BD.
7. Рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle BAD\):
8. 1. AB = BA (общая сторона).
9. 2. AC = BD (доказано).
10. 3. \(\ ext{Угол BAC}\\) = \(\ ext{Угол ABD}\\) (опираются на дугу BC и AD соответственно, и эти дуги равны).
11. \(\ ext{Угол BAC}\\) опирается на дугу BC.
12. \(\ ext{Угол ABD}\\) опирается на дугу AD.
13. Мы знаем, что дуга AC = дуга BD.
14. \(\ ext{Угол ABC}\\) = \(\ ext{Угол BAC}\\) + \(\ ext{Угол ACB}\\) = \(90^°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\).
15. \(\ ext{Угол BAC}\\) опирается на дугу BC. \(\ ext{Угол ABD}\\) опирается на дугу AD.
16. Если дуга AC = дуга BD, то:
17. \(\ ext{Дуга AB} = ext{полуокружность} = 180^°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\).
18. \(\ ext{Дуга AB} = ext{Дуга AC} + ext{Дуга CB}\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\).
19. \(\ ext{Дуга AB} = ext{Дуга AD} + ext{Дуга DB}\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\).
20. \(\ ext{Дуга AC} = ext{Дуга BD}\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\).
21. \(\ ext{Дуга BC}\\) = \(\ ext{Дуга AD}\\) (так как \(\ ext{Дуга AC} + ext{Дуга CB} = 180^°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\) и \(\ ext{Дуга AD} + ext{Дуга DB} = 180^°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\), и \(\ ext{Дуга AC} = ext{Дуга BD}\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\°\)).
22. Следовательно, хорды, стягивающие равные дуги, равны.
23. Хорда BC = Хорда AD.
24. Доказано.