2 arcsin(x² - 3x + 1) + π = 0 find sum of all value

Решение:

Для начала, приведём уравнение к виду, где аргумент функции арксинуса будет в пределах от -1 до 1.

\( 2 \arcsin(x^2 - 3x + 1) = -\pi \)

\( \arcsin(x^2 - 3x + 1) = -\frac{\pi}{2} \)

Теперь найдем значение аргумента, при котором арксинус равен \( -\frac{\pi}{2} \).

\( x^2 - 3x + 1 = -1 \)

Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( x^2 - 3x + 1 + 1 = 0 \)

\( x^2 - 3x + 2 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение.

1. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \)
2. Найдем корни:
• \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
• \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

Проверим, что аргумент \( x^2 - 3x + 1 \) находится в пределах от -1 до 1 для найденных значений \( x \).

При \( x = 2 \): \( 2^2 - 3 \cdot 2 + 1 = 4 - 6 + 1 = -1 \). Значение \( -1 \) находится в допустимом диапазоне.

При \( x = 1 \): \( 1^2 - 3 \cdot 1 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 \). Значение \( -1 \) находится в допустимом диапазоне.

Найдем сумму найденных значений \( x \).

\( x_1 + x_2 = 2 + 1 = 3 \)

Ответ: 3