2.ABCDABCD1 – правильная призма. АВ = 6см, АА1= 8см. Найти угол между прямыми АА1 и ВС; площадь полной поверхности призмы.

Дано:

• ABCDA₁B₁C₁D₁ – правильная призма
• AB = 6 см
• AA₁ = 8 см

Найти:

• Угол между прямыми AA₁ и BC
• Площадь полной поверхности призмы

Решение:

1. Угол между прямыми AA₁ и BC:

   В правильной призме боковые ребра параллельны друг другу и перпендикулярны основаниям. Также, в основании лежат квадраты (или прямоугольники, если призма не является прямой), поэтому AB || DC и BC || AD. Боковое ребро AA₁ параллельно BB₁, CC₁, DD₁.

   Прямые AA₁ и BC являются скрещивающимися, так как они не пересекаются и не параллельны.

   Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми, нужно провести через одну из прямых плоскость, параллельную другой, и найти угол между ними.

   Проведем через точку A прямую, параллельную BC. Так как ABCD – квадрат (или прямоугольник), то AB || DC, и AD || BC. Выберем точку A. Из вершины A проведем отрезок, параллельный BC. Этот отрезок будет совпадать с AD.

   Таким образом, угол между прямыми AA₁ и BC равен углу между прямой AA₁ и прямой AD. Так как AA₁ является боковым ребром правильной призмы, она перпендикулярна плоскости основания ABCD. Следовательно, AA₁ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости основания и проходящей через точку A, включая AD.

   Угол между AA₁ и AD равен 90°.

2. Площадь полной поверхности призмы:

   Площадь полной поверхности призмы (S_полн) равна сумме площадей двух оснований (S_осн) и площади боковой поверхности (S_бок).

   $$ S_{\text{полн}} = 2 \cdot S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} $$

   Площадь основания (S_осн):

   Основание правильной призмы – квадрат. Сторона квадрата AB = 6 см.

   $$ S_{\text{осн}} = AB^2 = 6^2 = 36 \text{ см}^2 $$

   Площадь боковой поверхности (S_бок):

   Боковая поверхность правильной призмы состоит из четырех равных прямоугольников со сторонами AB = 6 см и AA₁ = 8 см.

   $$ S_{\text{бок}} = Периметр \cdot высота = (4 \cdot AB) \cdot AA_1 $$

   $$ S_{\text{бок}} = (4 \cdot 6) \cdot 8 = 24 \cdot 8 = 192 \text{ см}^2 $$

   Площадь полной поверхности:

   $$ S_{\text{полн}} = 2 \cdot S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 2 \cdot 36 + 192 = 72 + 192 = 264 \text{ см}^2 $$

Ответ:

• Угол между прямыми AA₁ и BC равен 90°.
• Площадь полной поверхности призмы равна 264 см².