2. ABCDA1B1C1D1 – правильная призма. АВ = 6см, АА1= 8см. Найти угол между прямыми АА1 и ВС. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Задание 2. Призма

Дано:

• Правильная призма ABCDA₁B₁C₁D₁.
• Сторона основания AB = 6 см.
• Боковое ребро AA₁ = 8 см.

Найти:

1. Угол между прямыми AA₁ и BC.
2. Площадь полной поверхности призмы.

Решение:

1. Угол между прямыми AA₁ и BC

Так как призма правильная, то боковое ребро AA₁ параллельно любому другому боковому ребру (BB₁, CC₁, DD₁). Также, прямая AA₁ перпендикулярна плоскости основания ABCDA₁B₁C₁D₁.

Прямая BC лежит в плоскости основания.

По условию, призма правильная, значит, в основании лежит правильный многоугольник. В данном случае, это квадрат (ABCD), так как использована нотация с четырьмя вершинами.

В квадрате ABCD стороны AB и BC перпендикулярны друг другу (∠ABC = 90°).

Боковое ребро AA₁ перпендикулярно всем сторонам основания, в том числе и стороне AB.

Прямая AA₁ параллельна прямой BB₁.

Прямая BC перпендикулярна ребру AB.

Так как AA₁ || BB₁, то угол между AA₁ и BC будет равен углу между BB₁ и BC. Поскольку BB₁ ⊥ AB и BC ⊥ AB, то BB₁ || BC, что неверно. BB₁ и BC пересекаются в точке B.

Боковое ребро AA₁ перпендикулярно плоскости основания. Прямая BC лежит в плоскости основания. Следовательно, любая прямая, перпендикулярная плоскости основания, будет перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Таким образом, AA₁ ⊥ BC.

Угол между перпендикулярными прямыми равен 90°.

Ответ: Угол между прямыми AA₁ и BC равен 90°.

2. Площадь полной поверхности призмы

Площадь полной поверхности призмы (S_полн.) складывается из площади боковой поверхности (S_бок.) и площади двух оснований (S_осн.):

\[ S_{полн.} = S_{бок.} + 2 s S_{осн.} \]

а) Площадь боковой поверхности (S_бок.):

Боковая поверхность правильной призмы — это прямоугольник, стороны которого равны высоте призмы (AA₁) и периметру основания (P_осн.).

Основание призмы — квадрат со стороной AB = 6 см.

Периметр основания: \( P_{осн.} = 4 s AB = 4 s 6 \) см = 24 см.

Высота призмы: \( h = AA_1 = 8 \) см.

Площадь боковой поверхности: \( S_{бок.} = P_{осн.} s h = 24 \text{ см} s 8 \text{ см} = 192 \) см².

б) Площадь одного основания (S_осн.):

Основание — квадрат со стороной AB = 6 см.

Площадь квадрата: \( S_{осн.} = AB^2 = 6^2 \text{ см}^2 = 36 \) см².

в) Площадь полной поверхности (S_полн.):

\[ S_{полн.} = S_{бок.} + 2 s S_{осн.} = 192 \(\text{ см}\)^2 + 2 s 36 \(\text{ см}\)^2 = 192 \(\text{ см}\)^2 + 72 \(\text{ см}\)^2 = 264 \) см².

Ответ: Площадь полной поверхности призмы равна 264 см².