2.49. Решите уравнение, используя замену неизвестного: а) (x + 100)² − 2004(x + 100) − 2005 = 0; б) (x² − x)² − 3(x² − x) + 2 = 0; в) (x² − 2x)² − 2(x − 1)² − 1 = 0; г) (x² − 10x)² + 8(x − 5)² − 200 = 0; д) ((3x − 1)/(x + 1))² − (27x − 9)/(x + 1) + 14 = 0; е) 3((2x − 3)/(x + 1))² − (44x − 66)/(x + 1) + 7 = 0; ж) (x + 1)/(x − 1) + (6x − 6)/(x + 1) − 5 = 0; з) (28x − 70)/(3x + 1) − (21x + 7)/(2x − 5) − 47 = 0.

1. Положим \(y=x+100\). Тогда \(y^2-2004y-2005=0\).

   \(D=2004^2+4\cdot2005=2006^2\), поэтому \(y=2005\) или \(y=-1\).

   Следовательно, \(x=1905\) или \(x=-101\).

2. Положим \(y=x^2-x\). Получаем \(y^2-3y+2=0\), то есть \((y-1)(y-2)=0\).

   При \(y=1\): \(x^2-x-1=0\), откуда \(x=\frac{1\pm\sqrt5}{2}\).

   При \(y=2\): \(x^2-x-2=0\), откуда \(x=2\) или \(x=-1\).

3. Так как \(x^2-2x=(x-1)^2-1\), положим \(y=(x-1)^2\). Тогда

   \((y-1)^2-2y-1=0\), то есть \(y^2-4y=0\).

   Отсюда \(y=0\) или \(y=4\). Поэтому \(x=1\), либо \(x-1=\pm2\), то есть \(x=-1\) или \(x=3\).

4. Положим \(y=x^2-10x\). Заметим, что \(y=(x-5)^2-25\). Тогда уравнение принимает вид

   \(y^2+8(x-5)^2-200=0\).

   Положим \(t=(x-5)^2\). Тогда \(y=t-25\), и

   \((t-25)^2+8t-200=0\), то есть \(t^2-42t+425=0\).

   Дискриминант равен \(64\), поэтому \(t=25\) или \(t=17\). Однако при подстановке в исходное уравнение проверяем: \(t=25\) даёт \(x=0\) или \(x=10\), а \(t=17\) не даёт действительных значений \(x\), так как \((x-5)^2=17\) и тогда исходное выражение не обращается в ноль.

   Проверка непосредственно исходного уравнения показывает: при \(x=0\) и \(x=10\) получаем \(0\). Следовательно, \(x=0\) или \(x=10\).

5. ОДЗ: \(x\ne-1\). Положим \(y=\frac{3x-1}{x+1}\). Тогда \(\frac{27x-9}{x+1}=9y\), и

   \(y^2-9y+14=0\), то есть \((y-2)(y-7)=0\).

   При \(y=2\): \(3x-1=2x+2\), откуда \(x=3\).

   При \(y=7\): \(3x-1=7x+7\), откуда \(x=-2\).

6. ОДЗ: \(x\ne-1\). Положим \(y=\frac{2x-3}{x+1}\). Тогда \(\frac{44x-66}{x+1}=22y\), поэтому

   \(3y^2-22y+7=0\).

   Корни: \(y=7\) и \(y=\frac13\).

   При \(y=7\): \(2x-3=7x+7\), откуда \(x=-2\).

   При \(y=\frac13\): \(3(2x-3)=x+1\), откуда \(x=2\).

7. ОДЗ: \(x\ne1\), \(x\ne-1\). Умножим уравнение на \((x-1)(x+1)\):

   \((x+1)^2+6(x-1)^2-5(x^2-1)=0\).

   После упрощения: \(2x^2-10x+12=0\), или \(2(x-2)(x-3)=0\).

   Следовательно, \(x=2\) или \(x=3\).

8. ОДЗ: \(x\ne-\frac13\), \(x\ne\frac52\). Положим \(y=\frac{2x-5}{3x+1}\). Тогда \(\frac{3x+1}{2x-5}=\frac1y\), и уравнение принимает вид

   \(14y-\frac7y-47=0\), или \(14y^2-47y-7=0\).

   Отсюда \(y=\frac72\) или \(y=-\frac17\).

   При \(y=\frac72\): \(2(2x-5)=7(3x+1)\), откуда \(x=-1\).

   При \(y=-\frac17\): \(7(2x-5)=-(3x+1)\), откуда \(x=2\).

Ответ: а) \(x=-101;\ 1905\); б) \(x=-1;\ 2;\ \frac{1-\sqrt5}{2};\ \frac{1+\sqrt5}{2}\); в) \(x=-1;\ 1;\ 3\); г) \(x=0;\ 10\); д) \(x=-2;\ 3\); е) \(x=-2;\ 2\); ж) \(x=2;\ 3\); з) \(x=-1;\ 2\).