2.42. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения \((x-2y)^2-\dfrac{8y^2(2y^2-x^2)}{(2y+x)^2}\) неотрицательно.

Допустимые значения переменных удовлетворяют условию \(x+2y\ne 0\).

Приведём выражение к общему знаменателю:

\[\begin{aligned}(x-2y)^2-\frac{8y^2(2y^2-x^2)}{(x+2y)^2}&=\frac{(x-2y)^2(x+2y)^2-8y^2(2y^2-x^2)}{(x+2y)^2}\\&=\frac{(x^2-4y^2)^2-16y^4+8x^2y^2}{(x+2y)^2}\\&=\frac{x^4}{(x+2y)^2}.\end{aligned}\]

При допустимых значениях знаменатель положителен, а числитель \(x^4\ge 0\). Следовательно, значение выражения неотрицательно.