1 K MK = NK = 26 MN = 20 OE - ? M N E

Решение:

Дан треугольник MKN, в котором MK = NK = 26, MN = 20. В треугольнике вписана окружность с центром O. Точка E является точкой касания окружности со стороной MN. OE — радиус окружности.

Так как MK = NK, треугольник MKN — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Опустим высоту KH из вершины K на основание MN. Так как E — точка касания вписанной окружности, OE перпендикулярно MN.

В равнобедренном треугольнике точка пересечения высоты (KH), медианы и биссектрисы совпадает с центром вписанной окружности (O).

1. Найдем длину основания MN: MN = 20.

2. Так как KH — медиана, она делит основание MN пополам: ME = EN = MN / 2 = 20 / 2 = 10.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник KNE. По теореме Пифагора найдем высоту KH:

\( KN^2 = KH^2 + EN^2 \)

\( 26^2 = KH^2 + 10^2 \)

\( 676 = KH^2 + 100 \)

\( KH^2 = 676 - 100 = 576 \)

\( KH = \sqrt{576} = 24 \)

4. Площадь треугольника MKN можно вычислить двумя способами:

a) Через основание MN и высоту KH:

\( S = \frac{1}{2} × MN × KH = \frac{1}{2} × 20 × 24 = 240 \)

b) Через полупериметр (p) и радиус вписанной окружности (r = OE):

\( p = \frac{MK + NK + MN}{2} = \frac{26 + 26 + 20}{2} = \frac{72}{2} = 36 \)

\( S = p × r \)

\( 240 = 36 × OE \)

\( OE = \frac{240}{36} \)

5. Упростим дробь:

\( OE = \frac{240}{36} = \frac{120}{18} = \frac{60}{9} = \frac{20}{3} \)

Таким образом, радиус вписанной окружности OE равен \(\frac{20}{3}\).

Ответ: OE = \(\frac{20}{3}\).