19. x^{lg x - 2} = 1000

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Чтобы решить данное уравнение, возьмем логарифм по основанию 10 от обеих частей уравнения:

\( \log_{10} (x^{lg x - 2}) = \log_{10} 1000 \)

Используем свойство логарифма \( \log_b (a^c) = c \log_b a \) и \( \log_{10} 1000 = 3 \):

\( (lg x - 2) lg x = 3 \)

Пусть \( y = lg x \). Тогда уравнение примет вид:

\( (y - 2) y = 3 \)

Раскроем скобки:

\( y^2 - 2y = 3 \)

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( y^2 - 2y - 3 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \)

Найдем корни \( y_1 \) и \( y_2 \):

\( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)

\( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)

Теперь вернемся к замене \( y = lg x \):

1. \( lg x = 3 \) \(\implies\) \( x = 10^3 \) \(\implies\) \( x = 1000 \)

2. \( lg x = -1 \) \(\implies\) \( x = 10^{-1} \) \(\implies\) \( x = \frac{1}{10} \)

Проверим оба корня:

Если \( x = 1000 \): \( 1000^{lg 1000 - 2} = 1000^{3 - 2} = 1000^1 = 1000 \). Верно.

Если \( x = \frac{1}{10} \): \( (\frac{1}{10})^{lg \frac{1}{10} - 2} = (\frac{1}{10})^{-1 - 2} = (\frac{1}{10})^{-3} = 10^3 = 1000 \). Верно.

Ответ: x = 1000, x = 0.1.