19. В треугольнике АВС проведена прямая К№ серединный перпендикуляр к стороне ВС. Найти АК : КС, если ВК = 4 и АС = 6.

Дано:

Треугольник АВС.

К№ — серединный перпендикуляр к стороне ВС.

\[ ВК = 4 \]

\[ АС = 6 \]

Найти:

\[ АК : КС \]

Решение:

1. Свойство серединного перпендикуляра: Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.
2. Применение к задаче: Так как К№ — серединный перпендикуляр к стороне ВС, то точка К равноудалена от точек В и С. Следовательно,

   \[ ВК = КС \]

3. Находим КС: Поскольку

   \[ ВК = 4 \]

   , то

   \[ КС = 4 \]

   .
4. Находим АК: В треугольнике АВС,

   \[ АС = 6 \]

   . Мы знаем, что

   \[ АК = КС \]

   (по свойству серединного перпендикуляра, если предположить, что точка К также лежит на серединном перпендикуляре к АС, но это не дано в условии).
5. Повторное применение свойства серединного перпендикуляра: К№ является серединным перпендикуляром к ВС. Это означает, что любая точка на этой прямой (включая точку К) равноудалена от концов отрезка ВС. Таким образом,

   \[ BK = CK \]

   .
6. Подставляем известные значения: Так как

   \[ BK = 4 \]

   , то

   \[ CK = 4 \]

   .
7. Нахождение АК: У нас есть

   \[ AC = 6 \]

   . Мы не можем напрямую найти АК, используя только данные

   \[ BK = 4 \]

   и

   \[ AC = 6 \]

   , если бы задача не содержала намек на свойства треугольника.
8. Уточнение: В условии задачи сказано, что К№ - серединный перпендикуляр к стороне ВС. Это значит, что точка К находится на одинаковом расстоянии от В и С. Следовательно,

   \[ BK = CK = 4 \]

   .
9. Рассмотрим треугольник АВС. Если К - точка на стороне АС, и К№ - серединный перпендикуляр к ВС, то К - середина ВС. Это означает, что

   \[ BK = KC = 4 \]

   .
10. Новое условие: Если К - точка на стороне АС, и К№ - серединный перпендикуляр к ВС, то

    \[ BK = KC \]

    .
11. Важное замечание: В условии сказано, что К№ — серединный перпендикуляр к стороне ВС. Это значит, что любая точка на прямой К№ (и в частности, точка К) равноудалена от концов отрезка ВС. То есть,

    \[ BK = CK \]

    .
12. Находим КС: Так как

    \[ BK = 4 \]

    , то

    \[ CK = 4 \]

    .
13. Находим АК: В треугольнике АВС,

    \[ AC = 6 \]

    . Если точка К находится на стороне АС, то

    \[ AK + KC = AC \]

    .
14. Подставляем значения:

    \[ AK + 4 = 6 \]

    .
15. Находим АК:

    \[ AK = 6 - 4 = 2 \]

    .
16. Вычисляем отношение: Теперь мы можем найти отношение

    \[ AK : KC \]

    .

17. \[ AK : KC = 2 : 4 \]

18. Упрощаем отношение:

    \[ AK : KC = 1 : 2 \]

Ответ: 1 : 2