19. Тип 17 № 11165 i Если двузначное число разделить на число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получится 4, а в остатке 3. Если же это число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 8, а в остатке 7. Найдите это число.

Решение:

Пусть искомое двузначное число имеет вид \( 10a + b \), где \( a \) — цифра десятков, \( b \) — цифра единиц. Цифры \( a \) и \( b \) — целые числа от 0 до 9, причём \( a \neq 0 \) (так как число двузначное).

Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, будет \( 10b + a \).

Первое условие:

\( (10a + b) : (10b + a) = 4 \) с остатком \( 3 \).

Это можно записать как уравнение:

\( 10a + b = 4(10b + a) + 3 \)

\( 10a + b = 40b + 4a + 3 \)

\( 10a - 4a = 40b - b + 3 \)

\( 6a = 39b + 3 \)

Разделим обе части на 3:

\( 2a = 13b + 1 \) (Уравнение 1)

Поскольку \( a \) и \( b \) — цифры, и \( a \neq 0 \), \( b \neq 0 \) (иначе 10b+a=0), попробуем подставить значения \( b \) от 1 до 9.

• Если \( b = 1 \), то \( 2a = 13(1) + 1 = 14 \), следовательно \( a = 7 \).

Пара \( a=7, b=1 \) подходит. Искомое число \( 10a + b = 10(7) + 1 = 71 \). Число в обратном порядке \( 10b + a = 10(1) + 7 = 17 \).

Проверим первое условие: \( 71 : 17 = 4 \) (так как \( 17 \times 4 = 68 \)) и остаток \( 71 - 68 = 3 \). Условие выполняется.

Второе условие:

Сумма цифр числа равна \( a + b = 7 + 1 = 8 \).

Число \( 71 \) разделить на сумму его цифр \( 8 \).

\( 71 : 8 \)

\( 8 \times 8 = 64 \).
\( 71 - 64 = 7 \) (остаток).

В частном получается 8, а в остатке 7. Второе условие также выполняется.

Проверим другие возможные значения для \( b \) в Уравнении 1:

• Если \( b = 2 \), то \( 2a = 13(2) + 1 = 26 + 1 = 27 \). \( a = 13,5 \) — не является цифрой.
• При дальнейшем увеличении \( b \) значение \( 13b + 1 \) будет увеличиваться, и \( a \) будет больше 9.

Таким образом, единственным подходящим числом является 71.

Ответ: 71.