19. Решите тригонометрическое уравнение: 2sin^2 x - 5sin x - 7 = 0

Решение:

Это квадратное уравнение относительно \( \sin x \). Сделаем замену: пусть \( y = \sin x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 2y^2 - 5y - 7 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение:

1. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81 \).
2. Найдем корни уравнения для \( y \):
• \( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 9}{4} = \frac{14}{4} = 3.5 \)
• \( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 9}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \)

Теперь вернемся к замене \( y = \sin x \).

• Для \( y_1 = 3.5 \): \( \sin x = 3.5 \). Это уравнение не имеет решений, так как значение синуса не может быть больше 1.
• Для \( y_2 = -1 \): \( \sin x = -1 \).

Решением этого уравнения является:

\[ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \).