19. При каких значениях x равна нулю дробь: а) \(\frac{4x-x^3}{4x}\); в) \(\frac{x^3-x^2+x-1}{x^3-2x^2+x-2}\)?

а) Чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю, а знаменатель — не равен нулю:

\(4x-x^3=x(4-x^2)=x(2-x)(2+x)=0\).

Отсюда \(x=0\), \(x=2\) или \(x=-2\). Но знаменатель \(4x\ne0\), поэтому \(x=0\) не подходит.

Ответ: \(x=-2;\ 2\).

в) Разложим числитель и знаменатель на множители:

\(x^3-x^2+x-1=x^2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x^2+1)\);

\(x^3-2x^2+x-2=x^2(x-2)+(x-2)=(x-2)(x^2+1)\).

Числитель равен нулю при \(x=1\), так как действительных корней уравнения \(x^2+1=0\) нет. При \(x=1\) знаменатель не равен нулю.

Ответ: \(x=1\).