19. Найти экстремумы функции:

Решение:

Для нахождения экстремумов нужно найти производную функции, приравнять её к нулю, найти критические точки и определить, являются ли они точками минимума или максимума.

1. y = -x⁴ + 8x² - 7
   \( y' = -4x^3 + 16x \)
   \( -4x^3 + 16x = 0 \)
   \( -4x(x^2 - 4) = 0 \)
   \( x = 0, x = 2, x = -2 \)
   В точках \( x = -2 \) и \( x = 2 \) — локальные максимумы, \( y_{max} = -16 + 32 - 7 = 9 \).
   В точке \( x = 0 \) — локальный минимум, \( y_{min} = -7 \).
2. f(x) = x³ - 3x
   \( f'(x) = 3x^2 - 3 \)
   \( 3x^2 - 3 = 0 \)
   \( x^2 = 1 \)
   \( x = 1, x = -1 \)
   В точке \( x = -1 \) — локальный максимум, \( f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2 \).
   В точке \( x = 1 \) — локальный минимум, \( f(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2 \).
3. y = x³ - 6x + 4
   \( y' = 3x^2 - 6 \)
   \( 3x^2 - 6 = 0 \)
   \( x^2 = 2 \)
   \( x = \sqrt{2}, x = -\sqrt{2} \)
   В точке \( x = -\sqrt{2} \) — локальный максимум, \( y(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^3 - 6(-\sqrt{2}) + 4 = -2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 4 = 4\sqrt{2} + 4 \approx 9.66 \).
   В точке \( x = \sqrt{2} \) — локальный минимум, \( y(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^3 - 6(\sqrt{2}) + 4 = 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 4 = -4\sqrt{2} + 4 \approx -1.66 \).
4. f(x) = \( \frac{1}{2} \) x⁴ - x²
   \( f'(x) = 2x^3 - 2x \)
   \( 2x^3 - 2x = 0 \)
   \( 2x(x^2 - 1) = 0 \)
   \( x = 0, x = 1, x = -1 \)
   В точках \( x = -1 \) и \( x = 1 \) — локальные минимумы, \( f(\pm 1) = \frac{1}{2}(1) - 1 = -0.5 \).
   В точке \( x = 0 \) — локальный максимум, \( f(0) = 0 \).

Ответ: 1) Максимумы: \( y = 9 \) при \( x = \pm 2 \); Минимум: \( y = -7 \) при \( x = 0 \). 2) Максимум: \( f(-1) = 2 \); Минимум: \( f(1) = -2 \). 3) Максимум: \( y = 4\sqrt{2} + 4 \) при \( x = -\sqrt{2} \); Минимум: \( y = -4\sqrt{2} + 4 \) при \( x = \sqrt{2} \). 4) Минимумы: \( f(\pm 1) = -0.5 \); Максимум: \( f(0) = 0 \).